中心 $(0,0,1)$、半径1の球面 $S$ 上の点 $Q$ （ただし $Q \neq (0,0,2)$ ）と点 $P(1,0,2)$ を通る直線と平面 $z=0$ との交点を $R$ とする。点 $R$ の動く範囲を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

中心 $(0,0,1)$、半径1の球面 $S$ 上の点 $Q$ （ただし $Q \neq (0,0,2)$ ）と点 $P(1,0,2)$ を通る直線と平面 $z=0$ との交点を $R$ とする。点 $R$ の動く範囲を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、球面 $S$ の方程式を求める。中心が $(0,0,1)$ で半径が1であるから、

$$x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$$

$$x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1 = 1$$

$$x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0$$

点 $Q$ の座標を $(X,Y,Z)$ とすると、点 $Q$ は球面 $S$ 上にあるので、

$$X^2 + Y^2 + Z^2 - 2Z = 0$$

ただし、$Q \neq (0,0,2)$ より、$(X,Y,Z) \neq (0,0,2)$.

次に、点 $P(1,0,2)$ と点 $Q(X,Y,Z)$ を通る直線の方程式を求める。

直線上の点を $(x,y,z)$ とすると、

$$\frac{x-1}{X-1} = \frac{y-0}{Y-0} = \frac{z-2}{Z-2} = t$$

と表せる。したがって、

$$x = (X-1)t + 1$$

$$y = Yt$$

$$z = (Z-2)t + 2$$

点 $R$ は平面 $z=0$ 上の点なので、$z=0$ を代入して $t$ を求める。

$$(Z-2)t + 2 = 0$$

$$t = \frac{-2}{Z-2}$$

ただし、$Z \neq 2$

点 $R$ の座標を $(x,y,0)$ とすると、

$$x = (X-1)\left(\frac{-2}{Z-2}\right) + 1 = \frac{-2X+2+Z-2}{Z-2} = \frac{-2X+Z}{Z-2}$$

$$y = Y\left(\frac{-2}{Z-2}\right) = \frac{-2Y}{Z-2}$$

したがって、

$$x(Z-2) = -2X+Z$$

$$y(Z-2) = -2Y$$

$$Z = x(Z-2) + 2X$$

$$Y = -\frac{1}{2}y(Z-2)$$

$X^2 + Y^2 + Z^2 - 2Z = 0$ に代入する。

$$X = \frac{Z - x(Z-2)}{2}$$

$$Y = -\frac{1}{2} y (Z-2)$$

$$\left( \frac{Z - x(Z-2)}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} y (Z-2) \right)^2 + Z^2 - 2Z = 0$$

$$\frac{1}{4} (Z - x(Z-2))^2 + \frac{1}{4} y^2 (Z-2)^2 + Z^2 - 2Z = 0$$

$$(Z - x(Z-2))^2 + y^2(Z-2)^2 + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$(Z-Zx+2x)^2 + y^2(Z^2 - 4Z + 4) + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$Z^2(1-x)^2 + 4x^2 + 4Zx(1-x) + y^2 Z^2 - 4y^2 Z + 4y^2 + 4Z^2 - 8Z = 0$$

$$Z^2((1-x)^2 + y^2 + 4) + Z(4x(1-x) - 4y^2 - 8) + (4x^2 + 4y^2) = 0$$

$$Z^2(x^2-2x+1 + y^2 + 4) + Z(4x - 4x^2 - 4y^2 - 8) + 4(x^2 + y^2) = 0$$

$$Z^2(x^2 + y^2 - 2x + 5) + 4Z(-x^2 - y^2 + x - 2) + 4(x^2+y^2) = 0$$

$$Z = 0$$

は明らか。したがって、

$$Z(x^2+y^2-2x+5) + 4(-x^2-y^2+x-2) = 0$$

$$Z = \frac{4(x^2+y^2-x+2)}{x^2+y^2-2x+5}$$

$Z \neq 2$ より

$$\frac{4(x^2+y^2-x+2)}{x^2+y^2-2x+5} \neq 2$$

$$4x^2 + 4y^2 - 4x + 8 \neq 2x^2 + 2y^2 - 4x + 10$$

$$2x^2 + 2y^2 \neq 2$$

$$x^2 + y^2 \neq 1$$

$0 \le Z \le 2$ より

$$0 \le \frac{4(x^2+y^2-x+2)}{x^2+y^2-2x+5} \le 2$$

$$0 \le x^2+y^2-x+2$$

$x^2-x+2=(x-1/2)^2+7/4$

$$x^2+y^2-x+2 > 0$$

$$\frac{4(x^2+y^2-x+2)}{x^2+y^2-2x+5} \le 2$$

$$2(x^2+y^2-x+2) \le x^2+y^2-2x+5$$

$$2x^2+2y^2-2x+4 \le x^2+y^2-2x+5$$

$$x^2+y^2 \le 1$$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 \le 1$ かつ $x^2 + y^2 \neq 1$ つまり $x^2 + y^2 < 1$

点 R の動く範囲は、中心 $(0,0)$、半径1の円の内部 (境界は含まない)。