三角形ABCにおいて、外接円の半径をRとする。以下の条件の時、指定されたものを求めよ。 (1) $b=4$, $B=30^\circ$, $C=105^\circ$ のとき、$a$ と $R$ (2) $a=\sqrt{6}$, $b=2$, $A=60^\circ$ のとき、$B$ と $C$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、外接円の半径をRとする。以下の条件の時、指定されたものを求めよ。

(1) $b=4$, $B=30^\circ$, $C=105^\circ$ のとき、$a$ と $R$

(2) $a=\sqrt{6}$, $b=2$, $A=60^\circ$ のとき、$B$ と $C$

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\sin 30^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}}$

$a = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$

外接円の半径$R$は、正弦定理より

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{4}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 2R$

$8 = 2R$

$R = 4$

(2)

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$B = 45^\circ$

三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4\sqrt{2}$, $R = 4$

(2) $B = 45^\circ$, $C = 75^\circ$