原点をOとする。点Pはx軸の正の方向に1秒間に4、点Qはy軸の正の方向に1秒間に3の割合で進んでいる。ある時刻に、点Pは(1, 0)、点Qは(0, -3)にあった。PQ間の距離が最小となるのは、この時刻から何秒後か。

1. 問題の内容

原点をOとする。点Pはx軸の正の方向に1秒間に4、点Qはy軸の正の方向に1秒間に3の割合で進んでいる。ある時刻に、点Pは(1, 0)、点Qは(0, -3)にあった。PQ間の距離が最小となるのは、この時刻から何秒後か。

2. 解き方の手順

ある時刻から$t$秒後の点Pの座標を$(x_P, y_P)$、点Qの座標を$(x_Q, y_Q)$とする。

$x_P = 1 + 4t$

$y_P = 0$

$x_Q = 0$

$y_Q = -3 + 3t$

PQ間の距離を$L$とすると、

$L = \sqrt{(x_P - x_Q)^2 + (y_P - y_Q)^2}$

$L^2 = (1 + 4t - 0)^2 + (0 - (-3 + 3t))^2$

$L^2 = (1 + 4t)^2 + (3 - 3t)^2$

$L^2 = 1 + 8t + 16t^2 + 9 - 18t + 9t^2$

$L^2 = 25t^2 - 10t + 10$

$L^2$が最小となるのは、$t$について平方完成したとき。

$L^2 = 25(t^2 - \frac{2}{5}t) + 10$

$L^2 = 25(t^2 - \frac{2}{5}t + (\frac{1}{5})^2) - 25(\frac{1}{25}) + 10$

$L^2 = 25(t - \frac{1}{5})^2 - 1 + 10$

$L^2 = 25(t - \frac{1}{5})^2 + 9$

$L^2$が最小となるのは、$t = \frac{1}{5}$のとき。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$秒後