120m離れた2地点A, Bと、島の地点Cがある。$\angle CAB = 75^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$であるとき、C, A間の距離を求める。

1. 問題の内容

120m離れた2地点A, Bと、島の地点Cがある。$\angle CAB = 75^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$であるとき、C, A間の距離を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACB$を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

次に、正弦定理を用いて、ACの長さを求める。正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin(\angle CBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$

これをACについて解くと、

$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle CBA)}{\sin(\angle ACB)} = \frac{120 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$AC = \frac{120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{120 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{120 \sqrt{6}}{3} = 40\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$40\sqrt{6} \ m$