複素数平面上の点 $z$ が原点 $O$ を中心とする半径1の円上を動くとき、点 $w = \frac{6z - 1}{2z - 1}$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が原点 $O$ を中心とする半径1の円上を動くとき、点 $w = \frac{6z - 1}{2z - 1}$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

$z$ は原点中心、半径1の円上を動くので、 $|z| = 1$ である。

よって、$z\bar{z} = |z|^2 = 1$ であるから、$\bar{z} = \frac{1}{z}$ となる。

$w = \frac{6z - 1}{2z - 1}$ より、 $w(2z - 1) = 6z - 1$

$2wz - w = 6z - 1$

$2wz - 6z = w - 1$

$z(2w - 6) = w - 1$

$z = \frac{w - 1}{2w - 6}$

$|z| = 1$ より、 $|\frac{w - 1}{2w - 6}| = 1$

$|w - 1| = |2w - 6|$

$|w - 1| = 2|w - 3|$

$|w - 1|^2 = 4|w - 3|^2$

$w = x + yi$ とおくと、

$|(x - 1) + yi|^2 = 4|(x - 3) + yi|^2$

$(x - 1)^2 + y^2 = 4((x - 3)^2 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 22x + 3y^2 + 35$

$3x^2 - 22x + 3y^2 + 35 = 0$

$x^2 - \frac{22}{3}x + y^2 + \frac{35}{3} = 0$

$(x - \frac{11}{3})^2 - (\frac{11}{3})^2 + y^2 + \frac{35}{3} = 0$

$(x - \frac{11}{3})^2 + y^2 = \frac{121}{9} - \frac{105}{9} = \frac{16}{9}$

$(x - \frac{11}{3})^2 + y^2 = (\frac{4}{3})^2$

これは、中心 $(\frac{11}{3}, 0)$、半径 $\frac{4}{3}$ の円を表す。

3. 最終的な答え

中心 $\frac{11}{3}$、半径 $\frac{4}{3}$ の円