$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、以下の2つの式の値を求めます。 (1) $x^2 - y^2$ (2) $x^2 - 2xy + y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、以下の2つの式の値を求めます。

(1) $x^2 - y^2$

(2) $x^2 - 2xy + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2$ の計算

$x^2 - y^2$ は因数分解できるので、

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

$x + y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$

$x - y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (2\sqrt{5})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{15}$

(2) $x^2 - 2xy + y^2$ の計算

$x^2 - 2xy + y^2$ は $(x-y)^2$ と因数分解できます。

$x - y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

したがって、

$(x-y)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - y^2 = 4\sqrt{15}$

(2) $x^2 - 2xy + y^2 = 12$