与えられた4つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で答えを求める問題です。 (1) $\sqrt{2}(4\sqrt{2}+3)$ (3) $(\sqrt{2}+5)(\sqrt{2}+3)$ (5) $(\sqrt{6}+\sqrt{15})^2$ (7) $(\sqrt{6}+4)(-4+\sqrt{6})$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で答えを求める問題です。

(1) $\sqrt{2}(4\sqrt{2}+3)$

(3) $(\sqrt{2}+5)(\sqrt{2}+3)$

(5) $(\sqrt{6}+\sqrt{15})^2$

(7) $(\sqrt{6}+4)(-4+\sqrt{6})$

2. 解き方の手順

(1) 分配法則を用いて展開し、計算を整理します。

(3) 分配法則（FOIL法）を用いて展開し、計算を整理します。

(5) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を用いて展開し、計算を整理します。

(7) $(a+b)(b-a) = b^2-a^2$ の公式を用いて展開し、計算を整理します。

(1) $\sqrt{2}(4\sqrt{2}+3)$

= $4(\sqrt{2})^2 + 3\sqrt{2}$

= $4(2) + 3\sqrt{2}$

= $8 + 3\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{2}+5)(\sqrt{2}+3)$

= $(\sqrt{2})^2 + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 15$

= $2 + 8\sqrt{2} + 15$

= $17 + 8\sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{6}+\sqrt{15})^2$

= $(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{15} + (\sqrt{15})^2$

= $6 + 2\sqrt{90} + 15$

= $21 + 2\sqrt{9 \cdot 10}$

= $21 + 2(3\sqrt{10})$

= $21 + 6\sqrt{10}$

(7) $(\sqrt{6}+4)(-4+\sqrt{6})$

= $(\sqrt{6}+4)(\sqrt{6}-4)$

= $(\sqrt{6})^2 - 4^2$

= $6 - 16$

= $-10$

3. 最終的な答え

(1) $8+3\sqrt{2}$

(3) $17+8\sqrt{2}$

(5) $21+6\sqrt{10}$

(7) $-10$