(1) 全ての $x$ に対して、$x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$ が成り立つような定数 $a, b, c, d$ を求めよ。 (2) 等式 $\frac{4x+5}{2x^2+5x-3} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) 全ての $x$ に対して、$x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$ が成り立つような定数 $a, b, c, d$ を求めよ。

(2) 等式 $\frac{4x+5}{2x^2+5x-3} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 - 3x^2 + 7$ を $(x-2)$ で割り算することを繰り返して、$a, b, c, d$ を求めます。

まず、$x^3 - 3x^2 + 7$ を $(x-2)$ で割ります。

$x^3 - 3x^2 + 7 = (x^2 - x - 2)(x-2) + 3$

次に、$x^2 - x - 2$ を $(x-2)$ で割ります。

$x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2) + 0$

さらに、$x+1$ を $(x-2)$ で割ります。

$x+1 = 1(x-2) + 3$

したがって、

$x^3 - 3x^2 + 7 = [(x+1)(x-2)](x-2) + 3 = [(1(x-2)+3)(x-2)](x-2) + 3 = [1(x-2)^2 + 3(x-2)](x-2) + 3 = 1(x-2)^3 + 3(x-2)^2 + 0(x-2) + 3$

よって、$a = 1, b = 3, c = 0, d = 3$ です。

(2)

$\frac{4x+5}{2x^2+5x-3} = \frac{4x+5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$

両辺に $(2x-1)(x+3)$ を掛けると、

$4x+5 = a(x+3) + b(2x-1)$

$4x+5 = ax + 3a + 2bx - b$

$4x+5 = (a+2b)x + (3a-b)$

係数比較により、

$a+2b = 4$

$3a-b = 5$

この連立方程式を解きます。

$a+2b=4$ より、$a = 4 - 2b$

$3a - b = 3(4-2b) - b = 12 - 6b - b = 12 - 7b = 5$

$7b = 7$

$b = 1$

$a = 4 - 2(1) = 2$

よって、$a=2, b=1$です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 3, c = 0, d = 3$

(2) $a = 2, b = 1$