与えられた条件の下で、いくつかの式の値を計算する問題です。具体的には、以下の４つの問題を解きます。 (1) $a=2, b=-1$ のとき、$(a-2b)^2 - (a+b)(a+4b)$ の値 (2) $x=3, y=-8$ のとき、$(x+4y)(x+9y) - (x+6y)^2$ の値 (3) $x=-2, y=15$ のとき、$(x+2y)^2 + (x-4y)(x+y)$ の値 (4) $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{1}{3}$ のとき、$(5a+b)^2 - (5a-b)^2$ の値

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、いくつかの式の値を計算する問題です。具体的には、以下の４つの問題を解きます。

(1) $a=2, b=-1$ のとき、$(a-2b)^2 - (a+b)(a+4b)$ の値

(2) $x=3, y=-8$ のとき、$(x+4y)(x+9y) - (x+6y)^2$ の値

(3) $x=-2, y=15$ のとき、$(x+2y)^2 + (x-4y)(x+y)$ の値

(4) $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{1}{3}$ のとき、$(5a+b)^2 - (5a-b)^2$ の値

2. 解き方の手順

各問題について、与えられた変数の値を式に代入し、計算を行います。

(1) $a=2, b=-1$ のとき

$(a-2b)^2 - (a+b)(a+4b) = (2-2(-1))^2 - (2+(-1))(2+4(-1)) = (2+2)^2 - (2-1)(2-4) = 4^2 - (1)(-2) = 16 + 2 = 18$

(2) $x=3, y=-8$ のとき

$(x+4y)(x+9y) - (x+6y)^2 = (3+4(-8))(3+9(-8)) - (3+6(-8))^2 = (3-32)(3-72) - (3-48)^2 = (-29)(-69) - (-45)^2 = 2001 - 2025 = -24$

(3) $x=-2, y=15$ のとき

$(x+2y)^2 + (x-4y)(x+y) = (-2+2(15))^2 + (-2-4(15))(-2+15) = (-2+30)^2 + (-2-60)(13) = (28)^2 + (-62)(13) = 784 - 806 = -22$

(4) $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{1}{3}$ のとき

$(5a+b)^2 - (5a-b)^2 = (5(\frac{3}{5}) + (-\frac{1}{3}))^2 - (5(\frac{3}{5}) - (-\frac{1}{3}))^2 = (3-\frac{1}{3})^2 - (3+\frac{1}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2 - (\frac{10}{3})^2 = \frac{64}{9} - \frac{100}{9} = \frac{-36}{9} = -4$

あるいは、$A=5a, B=b$ とおくと

$(A+B)^2-(A-B)^2 = (A^2+2AB+B^2)-(A^2-2AB+B^2) = 4AB = 4(5a)(b) = 20ab = 20(\frac{3}{5})(-\frac{1}{3}) = 4(3)(-\frac{1}{3}) = -4$

3. 最終的な答え

(1) 18

(2) -24

(3) -22

(4) -4