2つの自然数 $m$, $n$ ($m < n$) が与えられたとき、次の式を簡単にせよ。 $(1 - \frac{1}{m})(1 - \frac{1}{m+1}) \cdots (1 - \frac{1}{n})$

1. 問題の内容

2つの自然数 $m$, $n$ ($m < n$) が与えられたとき、次の式を簡単にせよ。

$(1 - \frac{1}{m})(1 - \frac{1}{m+1}) \cdots (1 - \frac{1}{n})$

2. 解き方の手順

与えられた式を一つずつ計算していきます。各項を計算し、式を整理していくと、途中の項が打ち消しあい、簡単な形になることが期待できます。

まず、各項を通分して計算します。

$1 - \frac{1}{m} = \frac{m - 1}{m}$

$1 - \frac{1}{m+1} = \frac{(m+1) - 1}{m+1} = \frac{m}{m+1}$

$1 - \frac{1}{m+2} = \frac{(m+2) - 1}{m+2} = \frac{m+1}{m+2}$

...

$1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(\frac{m-1}{m})(\frac{m}{m+1})(\frac{m+1}{m+2}) \cdots (\frac{n-1}{n})$

この式を見ると、分子と分母で同じ数が現れ、打ち消しあうことがわかります。具体的には、$m$ は分子で次の項の分母と打ち消し合い、$m+1$ も分子で次の項の分母と打ち消し合う、というように連鎖的に消えていきます。

最終的に残るのは、最初の項の分子 $m-1$ と、最後の項の分母 $n$ です。

$\frac{m-1}{n}$

3. 最終的な答え

$\frac{m-1}{n}$