与えられた式 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$ と見て、$(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛ける。

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}$

$= \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

次に、分母の有理化を行うために、分子と分母に $\sqrt{2}$ を掛ける。

$\frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$