与えられた連立方程式 $\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ x - 4y = 7 \end{cases}$ について、係数行列 $A$ の (1, 2) 成分、行列式 $|A|$、$A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ の (2, 2) 成分、および $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (2, 1) 成分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ x - 4y = 7 \end{cases}$

について、係数行列 $A$ の (1, 2) 成分、行列式 $|A|$、$A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ の (2, 2) 成分、および $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (2, 1) 成分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式の係数行列 $A$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

(1, 2) 成分は、行列 $A$ の1行2列目の要素なので、2です。

次に、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = (3 \times -4) - (2 \times 1) = -12 - 2 = -14$

次に、余因子行列 $\tilde{A}$ を求めます。余因子行列の (2, 2) 成分は、行列 $A$ の (2, 2) 成分に対応する余因子に等しく、行列$A$から2行2列を取り除いた行列の行列式に符号 $(-1)^{2+2} = 1$ を掛けたものです。

したがって、$\tilde{A}_{22} = 3$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。逆行列 $A^{-1}$ は以下の式で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}^T$

ここで、$\tilde{A}^T$ は余因子行列 $\tilde{A}$ の転置行列です。余因子行列 $\tilde{A}$ は、

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

したがって、転置行列 $\tilde{A}^T$ は、

$\tilde{A}^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

であるから、逆行列$A^{-1}$は、

$A^{-1} = \frac{1}{-14} \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{14} & -\frac{3}{14} \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1}$ の (2, 1) 成分は、$\frac{1}{14}$ です。

3. 最終的な答え

係数行列 $A$ の (1, 2) 成分: 2

行列式 $|A|$: -14

余因子行列 $\tilde{A}$ の (2, 2) 成分: 3

逆行列 $A^{-1}$ の (2, 1) 成分: $\frac{1}{14}$