4次正方行列 $A$ が与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 2 \\ -2 & -4 & 5 & -2 \\ 2 & 5 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ $A$ の行列式 $|A|=37$ であることが与えられています。逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分（つまり、2行3列目の要素）を余因子を使って計算します。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A$ が与えられています。

$A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 2 \\ -2 & -4 & 5 & -2 \\ 2 & 5 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|=37$ であることが与えられています。逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分（つまり、2行3列目の要素）を余因子を使って計算します。

2. 解き方の手順

逆行列 $A^{-1}$ の (i,j) 成分は、行列 $A$ の余因子 $C_{ji}$ を用いて、

$A^{-1}_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|}$

と表されます。ここで、$C_{ji}$ は、$A$ の (j,i) 成分の余因子です。

求めたいのは $A^{-1}$ の (2,3) 成分なので、

$A^{-1}_{23} = \frac{C_{32}}{|A|}$

を計算します。$C_{32}$ は、行列 $A$ の (3,2) 成分の余因子なので、$A$ から 3行2列目を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+2} = -1$ を掛けたものです。

3行2列目を取り除いた3x3行列は、

$M_{32} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

この行列式 $|M_{32}|$ を計算します。

$|M_{32}| = 0 \cdot (5 \cdot 2 - (-2) \cdot (-3)) - 3 \cdot ((-2) \cdot 2 - (-2) \cdot (-1)) + 2 \cdot ((-2) \cdot (-3) - 5 \cdot (-1)) \\ = 0 - 3 \cdot (-4 - 2) + 2 \cdot (6 + 5) \\ = -3 \cdot (-6) + 2 \cdot 11 \\ = 18 + 22 \\ = 40$

したがって、$C_{32} = (-1)^{3+2} |M_{32}| = -1 \cdot 40 = -40$

$A^{-1}_{23} = \frac{C_{32}}{|A|} = \frac{-40}{37} = -\frac{40}{37}$

3. 最終的な答え

$-\frac{40}{37}$