与えられた式 $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ を展開し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ を展開し、簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y+z)(-x+y+z)$ を計算する。これは和と差の積の形とみなせる。

$(y+z+x)(y+z-x) = (y+z)^2 - x^2 = y^2 + 2yz + z^2 - x^2$

次に、$(x-y+z)(x+y-z)$ を計算する。これも和と差の積の形とみなせる。

$(x-(y-z))(x+(y-z)) = x^2 - (y-z)^2 = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

したがって、元の式は次のようになる。

$(y^2 + 2yz + z^2 - x^2)(x^2 - y^2 + 2yz - z^2)$

さらに、$(2yz + y^2 + z^2 - x^2)(2yz - y^2 - z^2 + x^2)$ を計算する。

これは $(2yz + (y^2 + z^2 - x^2))(2yz - (y^2 + z^2 - x^2))$ の形であり、和と差の積である。

$(2yz)^2 - (y^2 + z^2 - x^2)^2 = 4y^2z^2 - (y^4 + z^4 + x^4 + 2y^2z^2 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2) \\= 4y^2z^2 - y^4 - z^4 - x^4 - 2y^2z^2 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 = -x^4 - y^4 - z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2$

整理すると、

$2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - x^4 - y^4 - z^4$

3. 最終的な答え

$2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - x^4 - y^4 - z^4$

または

$-(x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2)$