与えられた式を有理化して簡単にします。 問題の式は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を有理化して簡単にします。

問題の式は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母を$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}$ と見て、$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}$

分母は $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の形になるので、

$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (5 + 2\sqrt{15} + 3) - 2 = 8 + 2\sqrt{15} - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$

分子は $(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ であり、$(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA$ の公式を使うと、

$(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5 + 3 + 2 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} = 10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10}$

したがって、元の式は

$\frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{10}}{3 + \sqrt{15}}$

さらに分母を有理化するために、$3 - \sqrt{15}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{10})(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{6} - \sqrt{90} + 3\sqrt{10} - \sqrt{150}}{9 - 15}$

$= \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$