三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{6}$, $b = 3 + \sqrt{3}$, $C = 45^\circ$であるとき、残りの辺の長さ$c$と角$A$, $B$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{6}$, $b = 3 + \sqrt{3}$, $C = 45^\circ$であるとき、残りの辺の長さ$c$と角$A$, $B$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$c$の長さを求める。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$である。

与えられた値を代入すると、

$c^2 = (\sqrt{6})^2 + (3 + \sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{6})(3 + \sqrt{3})\cos 45^\circ$

$c^2 = 6 + (9 + 6\sqrt{3} + 3) - 2\sqrt{6}(3 + \sqrt{3})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 6 + 12 + 6\sqrt{3} - \sqrt{12}(3 + \sqrt{3})$

$c^2 = 18 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})$

$c^2 = 18 + 6\sqrt{3} - (6\sqrt{3} + 6)$

$c^2 = 18 - 6 = 12$

$c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

次に、正弦定理を用いて角$A$を求める。

正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$である。

$\sin A = \frac{a\sin C}{c} = \frac{\sqrt{6}\sin 45^\circ}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、$A = 30^\circ$または$150^\circ$。

$A = 150^\circ$のとき、$A + C = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ > 180^\circ$となり、三角形の内角の和が$180^\circ$を超えるため不適である。

したがって、$A = 30^\circ$

最後に、三角形の内角の和を用いて角$B$を求める。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{3}$

$A = 30^\circ$

$B = 105^\circ$