(1) $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ を用いて、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ を因数分解する。 (2) (1)の結果を利用して、$a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ を用いて、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ を因数分解する。

(2) (1)の結果を利用して、$a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ の因数分解を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$より、

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y)^3 - 3xy(x+y) + z^3 - 3xyz$

ここで、$A = x+y$とおくと、

$A^3 + z^3 - 3xyA - 3xyz = (A+z)^3 - 3Az(A+z) - 3xyA - 3xyz$

$= (A+z)^3 - 3(A+z)Az - 3(x+y)zA - 3xyz$

$= (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(x+y)z - 3xyz$

$= (x+y+z)^3 - 3(x+y)z(x+y+z) - 3xyz$

$= (x+y+z)[(x+y+z)^2 - 3z(x+y)] - 3xyz$

$= (x+y+z)[x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx - 3xz - 3yz] - 3xyz$

$= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

従って、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)$

(2)

$a^3 + 6ab - 8b^3 + 1 = a^3 + (1)^3 + (-2b)^3 - 3 \cdot a \cdot 1 \cdot (-2b)$ と見ると、

これは $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ の形になっているので、

$x = a, y = 1, z = -2b$とおけば、(1)の結果が利用できる。

$a^3 + 1^3 + (-2b)^3 - 3a(1)(-2b) = (a+1-2b)(a^2+1^2+(-2b)^2 - a(1) - 1(-2b) - (-2b)(a))$

$= (a - 2b + 1)(a^2 + 1 + 4b^2 - a + 2b + 2ab)$

$= (a-2b+1)(a^2 + 4b^2 + 2ab - a + 2b + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)$

(2) $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1 = (a - 2b + 1)(a^2 + 4b^2 + 2ab - a + 2b + 1)$