2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ について、区間 $t \le x \le t+1$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、以下の問いに答えます。ただし、$t$ は定数です。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点を求めます。 (2) $M$ を $t$ を用いて表します。 (3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ について、区間 $t \le x \le t+1$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、以下の問いに答えます。ただし、$t$ は定数です。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点を求めます。

(2) $M$ を $t$ を用いて表します。

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点を求める

$f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$

平方完成を行います。

$f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3t^2 - 5t + 9$

$f(x) = (x-3)^2 + 3t^2 - 5t$

よって、頂点の座標は $(3, 3t^2 - 5t)$ となります。

(2) $M$ を $t$ で表す

グラフの軸は $x=3$ です。区間 $t \le x \le t+1$ を考えます。

$t$ の値によって、最大値を取る場所が変わります。

(i) $3 \ge \frac{t+(t+1)}{2}$ のとき、すなわち $t \le \frac{5}{2}$ のとき

$M = f(t+1)$

(ii) $3 < \frac{t+(t+1)}{2}$ のとき、すなわち $t > \frac{5}{2}$ のとき

$M = f(t)$

(i) $t \le \frac{5}{2}$ のとき

$M = f(t+1) = (t+1)^2 - 6(t+1) + 3t^2 - 5t + 9$

$M = t^2 + 2t + 1 - 6t - 6 + 3t^2 - 5t + 9$

$M = 4t^2 - 9t + 4$

(ii) $t > \frac{5}{2}$ のとき

$M = f(t) = t^2 - 6t + 3t^2 - 5t + 9$

$M = 4t^2 - 11t + 9$

したがって、

$M = \begin{cases} 4t^2 - 9t + 4 & (t \le \frac{5}{2}) \\ 4t^2 - 11t + 9 & (t > \frac{5}{2}) \end{cases}$

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求める。

軸 $x=3$ と区間 $t \le x \le t+1$ の位置関係で場合分けします。

$2 < t < 3$ なので、 $3 < t+1 < 4$ となります。よって、軸 $x=3$ は区間 $t \le x \le t+1$ の中に存在します。

したがって、最小値は頂点でとるので、$m = 3t^2 - 5t$ となります。

また、$2 < t < \frac{5}{2}$ ならば $M = f(t+1) = 4t^2 - 9t + 4$ となり、$\frac{5}{2} < t < 3$ ならば $M = f(t) = 4t^2 - 11t + 9$ となります。

(i) $2 < t \le \frac{5}{2}$ のとき

$M - m = (4t^2 - 9t + 4) - (3t^2 - 5t) = t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2 = \frac{1}{2}$

$t - 2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2 < t \le \frac{5}{2} = 2.5$ より、$t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(ii) $\frac{5}{2} < t < 3$ のとき

$M - m = (4t^2 - 11t + 9) - (3t^2 - 5t) = t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2 = \frac{1}{2}$

$t - 3 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = 3 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2} < t < 3$ より、$t = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$