複素数の計算問題です。$\overline{\left(\frac{1}{1-i}\right)} - \frac{1}{1+i}$ を計算します。

## 問題 (7) の解答

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。$\overline{\left(\frac{1}{1-i}\right)} - \frac{1}{1+i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{1-i}$ の共役複素数を計算します。

$\frac{1}{1-i} = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i}{1 - i^2} = \frac{1+i}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

$\overline{\left(\frac{1}{1-i}\right)} = \overline{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

次に、$\frac{1}{1+i}$ を計算します。

$\frac{1}{1+i} = \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{1-i}{1 - i^2} = \frac{1-i}{1 - (-1)} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

最後に、与えられた式を計算します。

$\overline{\left(\frac{1}{1-i}\right)} - \frac{1}{1+i} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) = 0$

3. 最終的な答え

0

## 問題 (8) の解答

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。$\frac{|2+5i|^2}{2+5i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$|2+5i|^2$ を計算します。複素数 $a+bi$ の絶対値の2乗は $a^2 + b^2$ なので、

$|2+5i|^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$

次に、与えられた式を計算します。

$\frac{|2+5i|^2}{2+5i} = \frac{29}{2+5i} = \frac{29}{2+5i} \cdot \frac{2-5i}{2-5i} = \frac{29(2-5i)}{2^2 - (5i)^2} = \frac{29(2-5i)}{4 - (-25)} = \frac{29(2-5i)}{29} = 2-5i$

3. 最終的な答え

$2-5i$

## 問題 (9) の解答

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。$\frac{1}{1+2i} + \frac{1}{\overline{1+2i}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{1+2i}$ を計算します。$\overline{1+2i} = 1-2i$

次に、$\frac{1}{1+2i}$ と $\frac{1}{1-2i}$ をそれぞれ計算します。

$\frac{1}{1+2i} = \frac{1}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{1-2i}{1 - (2i)^2} = \frac{1-2i}{1 - (-4)} = \frac{1-2i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$

$\frac{1}{1-2i} = \frac{1}{1-2i} \cdot \frac{1+2i}{1+2i} = \frac{1+2i}{1 - (-4)} = \frac{1+2i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$

最後に、与えられた式を計算します。

$\frac{1}{1+2i} + \frac{1}{\overline{1+2i}} = \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i\right) = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$