与えられた群数列について、以下の問いに答えます。 (1) 第$n$群の総和を求めます。 (2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目かを求めます。 (3) 最初の項から1999番目の項が、第何群の何番目にあるか、また、その数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた群数列について、以下の問いに答えます。

(1) 第$n$群の総和を求めます。

(2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目かを求めます。

(3) 最初の項から1999番目の項が、第何群の何番目にあるか、また、その数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の総和を求める。

第$n$群は、初項$n$、公差1、項数$n$の等差数列である。

等差数列の和の公式より、第$n$群の総和は

$S_n = \frac{n}{2}(2n + (n-1) \cdot 1) = \frac{n}{2}(3n-1)$

(2) 初めて99が現れるのが第何群の何番目かを求める。

第$n$群の初項は$n$なので、$n=99$のとき99が現れる。

第99群の最初の項が99である。

したがって、99が初めて現れるのは第99群の1番目。

(3) 最初の項から1999番目の項が第何群の何番目にあるか、またその数を求める。

第$k$群までの項数の総和を$N_k$とすると、

$N_k = \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$

$N_k \le 1999$を満たす最大の$k$を求める。

$\frac{k(k+1)}{2} \le 1999$

$k(k+1) \le 3998$

$k^2 + k - 3998 \le 0$

$k$は約62くらい。

$k=62$とすると$N_{62} = \frac{62 \cdot 63}{2} = 1953$

$k=63$とすると$N_{63} = \frac{63 \cdot 64}{2} = 2016$

したがって、1999番目の項は第63群にある。

1999番目の項は、第63群の$1999 - 1953 = 46$番目。

第63群の初項は63なので、第63群の46番目の項は$63 + 46 - 1 = 108$。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の総和: $\frac{n(3n-1)}{2}$

(2) 第99群の1番目

(3) 第63群の46番目, 数は108