与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 放物線 $y=x^2+2x+a^2-4$ がx軸に接するときの定数 $a$ の値（$a>0$）を求める。 (2) 放物線 $y=x^2-5x+2$ と直線 $y=kx+1$ の共有点の個数が2個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求める。 (3) 2次不等式 $x^2+ax+a+3>0$ の解がすべての実数であるときの定数 $a$ の値の範囲を求める。 (4) 方程式 $(x+2)|x-1|=k$ の実数解の個数が3個であるとき、および1個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 放物線 $y=x^2+2x+a^2-4$ がx軸に接するときの定数 $a$ の値（$a>0$）を求める。

(2) 放物線 $y=x^2-5x+2$ と直線 $y=kx+1$ の共有点の個数が2個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

(3) 2次不等式 $x^2+ax+a+3>0$ の解がすべての実数であるときの定数 $a$ の値の範囲を求める。

(4) 方程式 $(x+2)|x-1|=k$ の実数解の個数が3個であるとき、および1個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y=x^2+2x+a^2-4$ がx軸に接するとき、判別式 $D$ は0である。

$D = 2^2 - 4(1)(a^2-4) = 4 - 4a^2 + 16 = 20 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 20$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

ただし、$a>0$ なので、$a = \sqrt{5}$

(2) 放物線 $y=x^2-5x+2$ と直線 $y=kx+1$ の共有点の個数が2個であるとき、

$x^2-5x+2 = kx+1$

$x^2-(5+k)x+1 = 0$

判別式 $D = (5+k)^2 - 4(1)(1) = 25+10k+k^2-4 = k^2+10k+21=0$

$(k+3)(k+7) = 0$

$k = -3, -7$

共有点の個数が2個となるのは、$k = -3$ または $k = -7$ の時。

したがって、$k<-7, -3<k$

(3) 2次不等式 $x^2+ax+a+3>0$ の解がすべての実数であるとき、判別式 $D<0$ である。

$D = a^2 - 4(1)(a+3) = a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a-6)(a+2) < 0$

$-2 < a < 6$

(4) 方程式 $(x+2)|x-1|=k$ を解く。

$x \geq 1$ のとき、$(x+2)(x-1) = k$

$x^2+x-2 = k$

$x < 1$ のとき、$(x+2)(1-x) = k$

$-x^2-x+2 = k$

$x^2+x-2-k = 0$

$-x^2-x+2-k = 0$

$x^2+x+k-2 = 0$

$y = (x+2)|x-1|$ のグラフを描画し、$y=k$ との交点の個数を考える。

$x \geq 1$ のとき、$y=x^2+x-2 = (x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$。$x=1$で$y=0$。

$x < 1$ のとき、$y=-x^2-x+2 = -(x+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$。$x=-2$で$y=0$、$x=1$で$y=0$。頂点は$(-\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。

グラフを描くと、$k=\frac{9}{4}$のとき、実数解の個数は2個。$0 < k < \frac{9}{4}$のとき、実数解の個数は3個。$k=0$のとき、実数解の個数は2個。$k<0$のとき、実数解の個数は1個。

$k = 0$ のとき、$x=1$または$x=-2$。$x=1$のとき$k=0$、$x=-2$のとき$k=0$。

従って、実数解の個数が3個であるとき、$0 < k < \frac{9}{4}$

実数解の個数が1個であるとき、 $k<0$

3. 最終的な答え

(1) エ

(2) エ

(3) ア

(4) イ, オ