ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の量を求める問題です。 (1) $\|3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + \mathbf{c}\|$ (2) $(\mathbf{a}, \mathbf{c})$ （$\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$） (3) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ に対する $\cos \theta$ (4) $\mathbf{c} \times \mathbf{a}$ (5) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ を３辺とする平行六面体の体積

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の量を求める問題です。

(1) $\|3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + \mathbf{c}\|$

(2) $(\mathbf{a}, \mathbf{c})$ （$\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$）

(3) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ に対する $\cos \theta$

(4) $\mathbf{c} \times \mathbf{a}$

(5) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ を３辺とする平行六面体の体積

2. 解き方の手順

(1) $3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + \mathbf{c}$ を計算します。

$3\mathbf{a} = 3\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}$

$2\mathbf{b} = 2\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -4 \\ 6 \end{bmatrix}$

$3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 12 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 \\ -4 \\ 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 10 + 1 \\ -3 - (-4) + 5 \\ 3 - 6 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{bmatrix}$

$\|3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + \mathbf{c}\| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$

(2) $(\mathbf{a}, \mathbf{c})$ は $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$ を意味します。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (4)(1) + (-1)(5) + (1)(1) = 4 - 5 + 1 = 0$

(3) $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(5) + (-1)(-2) + (1)(3) = 20 + 2 + 3 = 25$

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38}$

$\cos \theta = \frac{25}{3\sqrt{2}\sqrt{38}} = \frac{25}{3\sqrt{76}} = \frac{25}{3\sqrt{4 \cdot 19}} = \frac{25}{3(2\sqrt{19})} = \frac{25}{6\sqrt{19}} = \frac{25\sqrt{19}}{6(19)} = \frac{25\sqrt{19}}{114}$

(4) $\mathbf{c} \times \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (5)(1) - (1)(-1) \\ (1)(4) - (1)(1) \\ (1)(-1) - (5)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 1 \\ 4 - 1 \\ -1 - 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \\ -21 \end{bmatrix}$

(5) 平行六面体の体積 $V = |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}| = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$.

$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-2)(1) - (3)(5) \\ (3)(1) - (5)(1) \\ (5)(5) - (-2)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 - 15 \\ 3 - 5 \\ 25 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -17 \\ -2 \\ 27 \end{bmatrix}$

$V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -17 \\ -2 \\ 27 \end{bmatrix}| = |(4)(-17) + (-1)(-2) + (1)(27)| = |-68 + 2 + 27| = |-39| = 39$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 0

(3) $\cos \theta = \frac{25\sqrt{19}}{114}$

(4) $\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \\ -21 \end{bmatrix}$

(5) $V=39$