0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて4桁の数を作る。以下の数の個数を求める。 (1) 整数 (2) 3の倍数 (3) 6の倍数 (4) 2400より大きい数

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて4桁の数を作る。以下の数の個数を求める。

(1) 整数

(2) 3の倍数

(3) 6の倍数

(4) 2400より大きい数

2. 解き方の手順

(1) 整数:

4桁の整数を作るので、千の位は0以外の5つの数字から選ぶことができる。

次に、百の位は残りの5つの数字から、十の位は残りの4つの数字から、一の位は残りの3つの数字から選ぶ。

よって、可能な整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個。

(2) 3の倍数:

数字の和が3の倍数であれば、その数は3の倍数である。

0, 1, 2, 3, 4, 5の中から4つの数字を選んで和が3の倍数になる組み合わせを考える。

(0, 1, 2, 3), (0, 1, 3, 5), (0, 2, 3, 4), (0, 3, 4, 5), (0, 1, 4, 5), (0, 2, 4, 5), (1, 2, 3, 3), (1, 2, 4, 5)

これらの組み合わせから4桁の数を作る。

0を含む組み合わせの場合、千の位に0は置けないので注意する。

(0, 1, 2, 3): $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$個

(0, 1, 3, 5): $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$個

(0, 2, 3, 4): $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$個

(0, 3, 4, 5): $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$個

(0, 1, 4, 5): $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$個

(0, 2, 4, 5): $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$個

(1, 2, 3, 3), (1, 2, 4, 5): $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$個

よって、3の倍数の個数は $18 \times 6 + 24 = 108 + 24 = 132$個

(3) 6の倍数:

6の倍数は、2の倍数かつ3の倍数である。

つまり、一の位が偶数（0, 2, 4）であり、かつ数字の和が3の倍数である必要がある。

組み合わせは以下の通り。

一の位が0の場合：(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (1, 4, 5), (2, 4, 5)

一の位が2の場合：(0, 1, 3), (0, 3, 4), (0, 4, 5), (1, 3, 5)

一の位が4の場合：(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 2, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 5), (2, 3, 5)

組み合わせから数を生成する。

一の位が0のとき：$6 \times 3 \times 2 \times 1 = 36$

一の位が2のとき：$4 \times (2 \times 2 \times 1 + 3 \times 2 \times 1) = 4 \times (4 + 6) = 4 \times 10 = 40$

一の位が4のとき：$6 \times (2 \times 2 \times 1 + 3 \times 2 \times 1) = 6 \times (4 + 6) = 6 \times 10 = 60$

一の位が0のとき

(1, 2, 3): $3! = 6$通り

(1, 3, 5): $3! = 6$通り

(2, 3, 4): $3! = 6$通り

(3, 4, 5): $3! = 6$通り

(1, 4, 5): $3! = 6$通り

(2, 4, 5): $3! = 6$通り

一の位が2のとき

(0, 1, 3): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(0, 3, 4): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(0, 4, 5): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(1, 3, 5): $3! = 6$通り

一の位が4のとき

(0, 1, 2): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(0, 1, 5): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(0, 2, 3): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(0, 3, 5): $2 \times 2 \times 1 = 4$通り

(1, 2, 5): $3! = 6$通り

(2, 3, 5): $3! = 6$通り

6の倍数: $6 \times 6 + 4 \times 3 + 6 + 4 \times 4 + 6 \times 2 = 36+12+6 + 16+12 = 82$個

(4) 2400より大きい数:

千の位が2の場合、百の位は4か5である必要がある。

千の位が3, 4, 5の場合、百の位はどの数字でも良い。

千の位が2のとき、百の位が4の場合、十の位と一の位は残りの4つの数字から2つ選ぶので、$4 \times 3= 12$通り。

千の位が2のとき、百の位が5の場合、十の位と一の位は残りの4つの数字から2つ選ぶので、$4 \times 3= 12$通り。

千の位が3, 4, 5のとき、百の位は残りの5つの数字から選べる。十の位は残りの4つの数字から、一の位は残りの3つの数字から選ぶ。よって、$3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$通り。

したがって、2400より大きい数の個数は $12+12+180 = 204$個。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 132個

(3) 82個

(4) 204個