(1) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2+1}$ を計算する。 (2) $\frac{2x^2-x-1}{x+1} - \frac{x^2+3x+3}{x+2} - \frac{x^2-x-11}{x+3}$ を計算する。 (3) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)}$ を計算する。

はい、承知しました。画像にある3つの問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2+1}$ を計算する。

(2) $\frac{2x^2-x-1}{x+1} - \frac{x^2+3x+3}{x+2} - \frac{x^2-x-11}{x+3}$ を計算する。

(3) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$ を計算します。通分して計算すると、

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}$

したがって、

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2+1} = \frac{2}{x^2-1} - \frac{2}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1)-2(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{4}{x^4-1}$

(2)

まず、各分数の分子を因数分解します。

$2x^2-x-1 = (2x+1)(x-1)$

$x^2+3x+3$ は因数分解できません。

$x^2-x-11$ は因数分解できません。

したがって、

$\frac{2x^2-x-1}{x+1} = \frac{(2x+1)(x-1)}{x+1}$

分子を多項式除算すると、$2x^2-x-1 = (x+1)(2x-3)+2$ なので、

$\frac{2x^2-x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(2x-3)+2}{x+1} = 2x-3 + \frac{2}{x+1}$

同様に、

$\frac{x^2+3x+3}{x+2} = \frac{(x+2)(x+1)+1}{x+2} = x+1 + \frac{1}{x+2}$

$\frac{x^2-x-11}{x+3} = \frac{(x+3)(x-4)+1}{x+3} = x-4 + \frac{1}{x+3}$

したがって、

$2x-3 + \frac{2}{x+1} - (x+1 + \frac{1}{x+2}) - (x-4 + \frac{1}{x+3}) = 2x-3 -x-1-x+4 + \frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3} = 0 + \frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}$

$\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{2(x+2)(x+3)-(x+1)(x+3)-(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{2(x^2+5x+6)-(x^2+4x+3)-(x^2+3x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{2x^2+10x+12-x^2-4x-3-x^2-3x-2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{3x+7}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

(3)

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

したがって、

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} = \frac{(x+3)-x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{x^4-1}$

(2) $\frac{3x+7}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

(3) $\frac{3}{x(x+3)}$