2次方程式 $2x^2 + 3x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $(\alpha - 2)(\beta - 2)$ (2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 3x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $(\alpha - 2)(\beta - 2)$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

与えられた2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係は以下の通りである。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a = 2$, $b = 3$, $c = -4$ であるから、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{-4}{2} = -2$

(1) $(\alpha - 2)(\beta - 2)$ の値を求める。

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = \alpha \beta - 2\alpha - 2\beta + 4 = \alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4$

ここで、$\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$ と $\alpha \beta = -2$ を代入すると、

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = -2 - 2(-\frac{3}{2}) + 4 = -2 + 3 + 4 = 5$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ の値を求める。

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta)$

ここで、$\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$ と $\alpha \beta = -2$ を代入すると、

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = (-2)(-\frac{3}{2}) = 3$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 3