与えられた2次関数 $y=x^2-6x+10$ について、以下の問いに答える。 (1) 頂点の座標を求める。 (2) $5 \le x < 7$ における関数の最大値と最小値を求める。 (3) $a$ が正の定数のとき、$0 \le x \le a$ における関数の最小値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y=x^2-6x+10$ について、以下の問いに答える。

(1) 頂点の座標を求める。

(2) $5 \le x < 7$ における関数の最大値と最小値を求める。

(3) $a$ が正の定数のとき、$0 \le x \le a$ における関数の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を平方完成して頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(3, 1)$。

(2) $5 \le x < 7$ における最大値と最小値を求める。

$y = (x - 3)^2 + 1$ より、軸は $x = 3$ である。

$x = 5$ のとき、$y = (5 - 3)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$

$x$ が 7 に近づくにつれて $y$ の値は増加する。

よって、最大値は $x=7$ に限りなく近いところで最大値に限りなく近い値をとるため、存在しない。

最小値は $x=5$ のときの $y=5$。

したがって、最大値は存在しない、最小値は5。

(3) $0 \le x \le a$ における最小値を求める。

軸は $x = 3$ である。

(i) $0 < a < 5$ のとき、軸 $x=3$ は定義域に含まれるので、最小値は頂点の $y$ 座標である1。

(ii) $5 \le a$ のとき、軸 $x=3$ は定義域に含まれるので、最小値は頂点の $y$ 座標である1。

3. 最終的な答え

(1) 頂点は $(3, 1)$。 よって、1: 3, 2: 1

(2) 最大値: 4 (存在しない), 最小値: 2 (5) よって、3: 4, 4: 2

(3) $0 < a < 5$ のとき 最小値: 1 (1) よって、5: 5, 6: 1

$5 \le a$ のとき 最小値: 1 (1) よって、7: 1