数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 2$ と漸化式 $3a_{n+1} = 9a_n - 2$ を満たす。このとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 2$ と漸化式 $3a_{n+1} = 9a_n - 2$ を満たす。このとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず漸化式を変形します。

$3a_{n+1} = 9a_n - 2$ より、

$a_{n+1} = 3a_n - \frac{2}{3}$

特性方程式 $x = 3x - \frac{2}{3}$ を解くと $2x = \frac{2}{3}$, $x = \frac{1}{3}$。

よって、$a_{n+1} - \frac{1}{3} = 3(a_n - \frac{1}{3})$

$b_n = a_n - \frac{1}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$

$b_1 = a_1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

数列 $\{b_n\}$ は初項 $\frac{5}{3}$、公比 3 の等比数列なので、

$b_n = \frac{5}{3} \cdot 3^{n-1} = 5 \cdot 3^{n-2}$

$a_n = b_n + \frac{1}{3} = 5 \cdot 3^{n-2} + \frac{1}{3}$

次に、$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (5 \cdot 3^{k-2} + \frac{1}{3})$ を計算します。

$S_n = 5 \sum_{k=1}^{n} 3^{k-2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}$

$S_n = 5 \cdot \frac{1}{3^{-1}} \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{3^{-1}} \cdot \frac{1(3^n - 1)}{3-1} + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{3^{-1}} \cdot \frac{3^n - 1}{2} + \frac{n}{3}$

$S_n = 5 \cdot 3^{-1} \frac{3(3^n - 1)}{2} + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{2} \frac{(3^n - 1)}{2} + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{2}(3^{n-1} - 3^{-1}) + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^n 3^{k-2} + \frac{n}{3}$

$S_n = 5 \cdot 3^{-1} \sum_{k=0}^{n-1} 3^{k} + \frac{n}{3}$

$S_n = 5 \cdot 3^{-1} \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} + \frac{n}{3}$

$S_n = 5 \cdot 3^{-1} \cdot \frac{3^n - 1}{2} + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{2 \cdot 3} (3^n - 1) + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5}{6} (3^n - 1) + \frac{n}{3}$

$S_n = \frac{5 \cdot 3^n - 5 + 2n}{6}$

$S_n = \frac{5 \cdot 3^n}{6} + \frac{2n - 5}{6}$

$S_n = \frac{5 \cdot 3^{n-1}}{2} + \frac{n}{3} - \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{5 \cdot 3^{n-1}}{2} + \frac{n}{3} - \frac{5}{6}$

これは選択肢の3と一致します。