数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = -1$ と漸化式 $2a_{n+1} = -4a_n + 3$ を満たします。このとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = -1$ と漸化式 $2a_{n+1} = -4a_n + 3$ を満たします。このとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$2a_{n+1} = -4a_n + 3$ より、

$a_{n+1} = -2a_n + \frac{3}{2}$

特性方程式 $x = -2x + \frac{3}{2}$ を解くと、

$3x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

よって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = -2(a_n - \frac{1}{2})$

$b_n = a_n - \frac{1}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$ となります。

$b_1 = a_1 - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

したがって、数列 $\{b_n\}$ は初項 $-\frac{3}{2}$、公比 $-2$ の等比数列なので、

$b_n = -\frac{3}{2}(-2)^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}(-2)^{n-1} + \frac{1}{2}$

次に、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{3}{2}(-2)^{k-1} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n} (-2)^{k-1} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n} (-2)^{k-1} = \frac{1 - (-2)^n}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^n}{3}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} a_k = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - (-2)^n}{3} + \frac{n}{2} = -\frac{1 - (-2)^n}{2} + \frac{n}{2} = \frac{(-2)^n - 1}{2} + \frac{n}{2} = \frac{(-2)^n - 1 + n}{2} = \frac{(-2)^n + n - 1}{2}$

$\frac{(-2)^n+n-1}{2} = \frac{2(-2)^{n-1}+n-1}{2} = (-2)^{n-1}+\frac{n-1}{2}$

3. 最終的な答え

選択肢の中から探すと、2番の $(-2)^{n-1} + \frac{n-1}{2}$ が正しいです。

答え: 2