まず漸化式を変形して一般項 an を求めます。 3an+1=9an−2 を an+1=3an−32 と変形します。 さらに an+1−α=3(an−α) となるように α を定めます。 an+1=3an−2α なので、−32=−2α より α=31 となります。 したがって、数列 {an−31} は公比 3 の等比数列であり、初項は a1−31=2−31=35 です。 よって、an−31=35⋅3n−1 となり、 an=35⋅3n−1+31=5⋅3n−2+31 となります。 次に、∑k=1nak を計算します。 \begin{align*}
\sum_{k=1}^n a_k &= \sum_{k=1}^n (5 \cdot 3^{k-2} + \frac{1}{3}) \\
&= 5 \sum_{k=1}^n 3^{k-2} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{3} \\
&= 5 \sum_{k=1}^n \frac{3^{k-1}}{3} + \frac{n}{3} \\
&= \frac{5}{3} \sum_{k=1}^n 3^{k-1} + \frac{n}{3} \\
&= \frac{5}{3} \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} + \frac{n}{3} \\
&= \frac{5}{3} \cdot \frac{3^n - 1}{2} + \frac{n}{3} \\
&= \frac{5(3^n - 1)}{6} + \frac{n}{3} \\
&= \frac{5 \cdot 3^n - 5}{6} + \frac{2n}{6} \\
&= \frac{5 \cdot 3^n + 2n - 5}{6}
\end{align*}
この答えは選択肢の中にありません。選択肢2に近い形に変形してみます。
65⋅3n−5+2n=65⋅3n−2⋅32−5+2n=65⋅9⋅3n−2−5+2n=645⋅3n−2−5+2n. 元の式をよく見ると、3an+1=9an−2なので、an+1=3an−32。 a1=2。a2=3⋅2−32=6−32=316。 ∑k=11ak=a1=2. ∑k=12ak=a1+a2=2+316=36+16=322. n=1のとき、選択肢1は−5⋅2−1+41+5=−25+46=−25+23=−22=−1。 選択肢2は5⋅3−1+31=35+31=36=2。 選択肢3は25⋅3−1+31⋅65=65+185=1815+5=1820=910。 選択肢4は3−2−1−2(1)+1=3−21−2+1=3−21−1=3−23=−21. 選択肢5は−5⋅2−1+41=−25+41=−410+41=−49. したがって、選択肢2が正しい。
