数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 4$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 4$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 4$ を変形します。

特性方程式 $x = 2x - 4$ を解くと $x = 4$ となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 4 = 2(a_n - 4)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 4$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比 2 の等比数列になります。

初項は $b_1 = a_1 - 4 = 2 - 4 = -2$ です。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$ となります。

$b_n = a_n - 4$ より、$a_n = b_n + 4 = -2^n + 4$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = -2^n + 4$

解答の選択肢5が該当します。