等式 $2x^2 - 7x + 8 = (x - 3)(ax + b) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 - 7x + 8 = (x - 3)(ax + b) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開します。

$(x - 3)(ax + b) + c = ax^2 + bx - 3ax - 3b + c = ax^2 + (b - 3a)x - 3b + c$

これが $2x^2 - 7x + 8$ と恒等式であるためには、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a = 2$

$b - 3a = -7$

$-3b + c = 8$

$a=2$ を $b - 3a = -7$ に代入すると、

$b - 3(2) = -7$

$b - 6 = -7$

$b = -1$

$b = -1$ を $-3b + c = 8$ に代入すると、

$-3(-1) + c = 8$

$3 + c = 8$

$c = 5$

したがって、$a = 2, b = -1, c = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$, $c = 5$