数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を解くために、まず特性方程式を考えます。

$x = 2x + 2$ より $x = -2$。

そこで、$a_n - (-2) = a_n + 2$ とおくと、漸化式は

$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$

と変形できます。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 2 の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ なので、

$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

よって、

$a_n + 2 = 2^{n+1}$

$a_n = 2^{n+1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n+1} - 2$

したがって、選択肢３が正解です。