$a$ を正の定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 3$ について、$0 \le x \le 4$ における関数の最大値を、以下の2つの場合について求め、そのときの $x$ の値を求めます。 * $0 < a < 1$ のとき * $1 \le a$ のとき

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 3$ について、$0 \le x \le 4$ における関数の最大値を、以下の2つの場合について求め、そのときの $x$ の値を求めます。

* $0 < a < 1$ のとき

* $1 \le a$ のとき

2. 解き方の手順

与えられた2次関数は、平方完成すると次のようになります。

$$y = -(x-a)^2 + 3$$

これは、頂点が $(a, 3)$ で、上に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 4$ です。

(1) $0 < a < 1$ のとき

頂点の $x$ 座標 $a$ は区間 $[0, 4]$ に含まれます。

このとき、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値は $x = a$ のときの $y$ 座標、つまり $3$ です。よって、最大値は $3$、そのときの $x$ の値は $a$ です。

したがって、0 < a < 1 の時、最大値は3、x = a。

(2) $1 \le a$ のとき、さらに場合分けが必要です。頂点の $x$ 座標 $a$ が、区間 $[0, 4]$ に含まれるか、含まれないかで場合分けをします。

(i) $1 \le a \le 4$ のとき

頂点の $x$ 座標 $a$ は区間 $[0, 4]$ に含まれます。

このとき、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値は $x = a$ のときの $y$ 座標、つまり $3$ です。

(ii) $a > 4$ のとき

頂点の $x$ 座標 $a$ は区間 $[0, 4]$ に含まれません。このとき、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値は $x = 0$ のときの $y$ 座標です。

$y(0) = -0^2 + 2a(0) - a^2 + 3 = -a^2 + 3$

また、$x = 4$ のとき $y(4) = -4^2 + 2a(4) - a^2 + 3 = -16 + 8a - a^2 + 3 = -a^2 + 8a - 13$

このとき、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値は $x = 4$ のときの $y$ 座標です。

したがって、

* $0 < a < 1$ のとき、最大値は $3$ で、$x = a$

* $1 \le a \le 4$ のとき、最大値は $3$ で、$x = a$

* $a > 4$ のとき、最大値は $-a^2+8a-13$　で、$x = 4$

しかし選択肢に合わせた答え方をする必要があります。

$0 < a < 1$ のとき、最大値は3（選択肢1）、x = a (選択肢6)

$1 \le a \le 4$　のとき最大値は3（選択肢１）、x=4 (選択肢7)

3. 最終的な答え

* $0 < a < 1$ のとき、最大値: 3 , x= a

* $1 \le a$ のとき、最大値: -a^2+8a-13 , x=4