与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ について、区間 $t \le x \le t+1$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めます。 (2) $M$ を $t$ を用いて表します。 (3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ について、区間 $t \le x \le t+1$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めます。

(2) $M$ を $t$ を用いて表します。

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点を求める。

$f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ を平方完成します。

$f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3t^2 - 5t + 9 = (x - 3)^2 + 3t^2 - 5t$

したがって、頂点は $(3, 3t^2 - 5t)$ となります。

(2) $M$ を $t$ を用いて表す。

$f(x)$ の軸は $x=3$ です。

$t \le x \le t+1$ の範囲で $2 < t < 3$ であることから、$t+1$ は常に $3$ より小さいかどうかを考えます。　

区間の中心 $\frac{t+(t+1)}{2} = t+\frac{1}{2}$ が軸 $x=3$ より大きいか小さいかで場合分けをします。

(i) $t + \frac{1}{2} \le 3$ つまり $t \le \frac{5}{2}$ のとき、区間の右端 $t+1$ で最大値をとります。

$M = f(t+1) = (t+1)^2 - 6(t+1) + 3t^2 - 5t + 9 = t^2 + 2t + 1 - 6t - 6 + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 9t + 4$

(ii) $t + \frac{1}{2} > 3$ つまり $t > \frac{5}{2}$ のとき、区間の左端 $t$ で最大値をとります。

$M = f(t) = t^2 - 6t + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 11t + 9$

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求めます。

(2)より、 $M$ は場合分けが必要です。また、$m$ は頂点 $x=3$ が区間 $t \le x \le t+1$ に含まれるかどうかで変わります。

(i) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ であり、$m = 3t^2 - 5t$ (頂点の $y$ 座標) です。また、$t + \frac{1}{2}$ の大小によって、最大値 $M$ の式が変わります。

(i-1) $2 < t \le \frac{5}{2}$ のとき、$M = 4t^2 - 9t + 4$ です。

$M - m = (4t^2 - 9t + 4) - (3t^2 - 5t) = t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 = \frac{1}{2}$

$t - 2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2 < t \le \frac{5}{2}$ を満たすのは $t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(i-2) $\frac{5}{2} < t < 3$ のとき、$M = 4t^2 - 11t + 9$ です。

$M - m = (4t^2 - 11t + 9) - (3t^2 - 5t) = t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2 = \frac{1}{2}$

$t - 3 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = 3 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2} < t < 3$ を満たすのは $t = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad t = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$