問題10は与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題11は一次不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

問題10は与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題11は一次不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

問題10

(1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分母の有理化のために、分母の共役な複素数$\sqrt{5}-\sqrt{3}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

分母の有理化のために、分母の共役な複素数$\sqrt{3}+\sqrt{2}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{5}}$

分母の有理化のために、分母の共役な複素数$3+\sqrt{5}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{3} + 2}$

分母の有理化のために、分母の共役な複素数$\sqrt{3}-2$を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{3 - 4} = \frac{\sqrt{3} - 2}{-1} = 2 - \sqrt{3}$

(5) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$

分母の有理化のために、分母の共役な複素数$\sqrt{2}+1$を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

(6) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

分母の有理化のために、分母の共役な複素数$\sqrt{6}-\sqrt{2}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 2\sqrt{4 \cdot 3}}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

問題11

(1) $2x + 7 \le 5$

$2x \le 5 - 7$

$2x \le -2$

$x \le -1$

(2) $1 - 6x \ge 19$

$-6x \ge 19 - 1$

$-6x \ge 18$

$x \le -3$

(3) $4x < 7x - 3$

$4x - 7x < -3$

$-3x < -3$

$x > 1$

(4) $2x > 3x + 8$

$2x - 3x > 8$

$-x > 8$

$x < -8$

(5) $5x + 10 \le 7x$

$10 \le 7x - 5x$

$10 \le 2x$

$5 \le x$

$x \ge 5$

(6) $3x \ge -4x - 5$

$3x + 4x \ge -5$

$7x \ge -5$

$x \ge -\frac{5}{7}$

(7) $4x - 3 < 9 + 2x$

$4x - 2x < 9 + 3$

$2x < 12$

$x < 6$

(8) $2x - 3 < 4x - 7$

$2x - 4x < -7 + 3$

$-2x < -4$

$x > 2$

(9) $4x + 7 \ge 2x - 1$

$4x - 2x \ge -1 - 7$

$2x \ge -8$

$x \ge -4$

(10) $-6x + 9 \ge 2x - 7$

$-6x - 2x \ge -7 - 9$

$-8x \ge -16$

$x \le 2$

3. 最終的な答え

問題10

(1) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(4) $2 - \sqrt{3}$

(5) $3 + 2\sqrt{2}$

(6) $2 - \sqrt{3}$

問題11

(1) $x \le -1$

(2) $x \le -3$

(3) $x > 1$

(4) $x < -8$

(5) $x \ge 5$

(6) $x \ge -\frac{5}{7}$

(7) $x < 6$

(8) $x > 2$

(9) $x \ge -4$

(10) $x \le 2$