与えられた2次式を因数分解する問題です。具体的には、 (1) $x^2 - 4x - 1$ (4) $4x^2 - 4x + 17$ の二つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2次式を因数分解する問題です。具体的には、

(1) $x^2 - 4x - 1$

(4) $4x^2 - 4x + 17$

の二つの式を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x - 1$ の因数分解

この式は通常の因数分解では整数解が見つからないため、解の公式を利用して因数分解します。

まず、$x^2 - 4x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1$, $b = -4$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

よって、$x_1 = 2 + \sqrt{5}$, $x_2 = 2 - \sqrt{5}$となります。

したがって、$x^2 - 4x - 1$ は $(x - (2 + \sqrt{5}))(x - (2 - \sqrt{5}))$ と因数分解できます。

(4) $4x^2 - 4x + 17$ の因数分解

こちらも同様に解の公式を利用して因数分解を試みます。

$4x^2 - 4x + 17 = 0$ の解を求めます。

$a = 4$, $b = -4$, $c = 17$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(17)}}{2(4)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 272}}{8}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-256}}{8}$

$x = \frac{4 \pm 16i}{8}$

$x = \frac{1 \pm 4i}{2}$

よって、$x_1 = \frac{1}{2} + 2i$, $x_2 = \frac{1}{2} - 2i$となります。

したがって、$4x^2 - 4x + 17$ は $4(x - (\frac{1}{2} + 2i))(x - (\frac{1}{2} - 2i))$ と因数分解できます。

または、$(2x - 1 - 4i)(2x - 1 + 4i)$と表すこともできます。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x - 1 = (x - (2 + \sqrt{5}))(x - (2 - \sqrt{5}))$

(4) $4x^2 - 4x + 17 = 4(x - (\frac{1}{2} + 2i))(x - (\frac{1}{2} - 2i)) = (2x - 1 - 4i)(2x - 1 + 4i)$