次の方程式を解きます。 (1) $\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ (2) $3 + \frac{1}{x-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$ (3) $\frac{x+6}{x^2-4} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = 1$ (4) $\sqrt{3-x} = x-1$ (5) $\sqrt{2x+5} = x+1$ (6) $x + \sqrt{2x+1} = 1$

わかりました。問題文に示された6つの方程式を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$

(2) $3 + \frac{1}{x-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$

(3) $\frac{x+6}{x^2-4} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = 1$

(4) $\sqrt{3-x} = x-1$

(5) $\sqrt{2x+5} = x+1$

(6) $x + \sqrt{2x+1} = 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、分母を払います。$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であるから、$x \neq \pm 1$。

$(x+1)x - 2x(x-1) = 2$

$x^2 + x - 2x^2 + 2x = 2$

$-x^2 + 3x - 2 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

ただし、$x \neq \pm 1$ より、$x = 2$。

(2)

同様に分母を払います。$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であるから、$x \neq \pm 1$。

$3(x^2-1) + (x+1) = 3x - 1$

$3x^2 - 3 + x + 1 = 3x - 1$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x+1)(x-1) = 0$

$x = 1, -\frac{1}{3}$

ただし、$x \neq \pm 1$ より、$x = -\frac{1}{3}$。

(3)

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ であるから、$x \neq \pm 2$。

$\frac{x+6}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = 1$

$x+6 + (x+2) + (x-2) = (x-2)(x+2)$

$3x + 6 = x^2 - 4$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x-5)(x+2) = 0$

$x = 5, -2$

ただし、$x \neq \pm 2$ より、$x = 5$。

(4)

$\sqrt{3-x} = x-1$

両辺を2乗します。

$3-x = (x-1)^2$

$3-x = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

$x = 2$ のとき、$\sqrt{3-2} = 2-1 \rightarrow 1 = 1$ (成立)

$x = -1$ のとき、$\sqrt{3-(-1)} = -1-1 \rightarrow 2 = -2$ (不成立)

よって、$x = 2$。

(5)

$\sqrt{2x+5} = x+1$

両辺を2乗します。

$2x+5 = (x+1)^2$

$2x+5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 - 4 = 0$

$x = \pm 2$

$x = 2$ のとき、$\sqrt{2(2)+5} = 2+1 \rightarrow 3 = 3$ (成立)

$x = -2$ のとき、$\sqrt{2(-2)+5} = -2+1 \rightarrow 1 = -1$ (不成立)

よって、$x = 2$。

(6)

$x + \sqrt{2x+1} = 1$

$\sqrt{2x+1} = 1-x$

両辺を2乗します。

$2x+1 = (1-x)^2$

$2x+1 = 1 - 2x + x^2$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

$x = 0$ のとき、$0 + \sqrt{2(0)+1} = 1 \rightarrow 1 = 1$ (成立)

$x = 4$ のとき、$4 + \sqrt{2(4)+1} = 1 \rightarrow 4+3=1$ (不成立)

よって、$x = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $x=2$

(2) $x=-\frac{1}{3}$

(3) $x=5$

(4) $x=2$

(5) $x=2$

(6) $x=0$