与えられた条件を満たす多項式 $B$ を求めます。 (1) $3x^2 - 4x + 5$ を $B$ で割ると、商が $x - 1$, 余りが $4$。 (2) $x^3 - 2x^2 + 3x - 3$ を $B$ で割ると、商が $x - 2$, 余りが $-2x + 7$。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす多項式 $B$ を求めます。

(1) $3x^2 - 4x + 5$ を $B$ で割ると、商が $x - 1$, 余りが $4$。

(2) $x^3 - 2x^2 + 3x - 3$ を $B$ で割ると、商が $x - 2$, 余りが $-2x + 7$。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の原理より、$3x^2 - 4x + 5 = B(x - 1) + 4$。

$B(x - 1) = 3x^2 - 4x + 5 - 4 = 3x^2 - 4x + 1$。

したがって、$B = \frac{3x^2 - 4x + 1}{x - 1}$。

$3x^2 - 4x + 1 = (3x - 1)(x - 1)$ なので、$B = 3x - 1$。

(2) 割り算の原理より、$x^3 - 2x^2 + 3x - 3 = B(x - 2) + (-2x + 7)$。

$B(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 3x - 3 - (-2x + 7) = x^3 - 2x^2 + 5x - 10$。

したがって、$B = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 10}{x - 2}$。

$x^3 - 2x^2 + 5x - 10 = x^2(x - 2) + 5(x - 2) = (x^2 + 5)(x - 2)$ なので、$B = x^2 + 5$。

3. 最終的な答え

(1) $B = 3x - 1$

(2) $B = x^2 + 5$