与えられた方程式 $x^5 - 3x^3 - 4x = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^5 - 3x^3 - 4x = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、すべて項に $x$ が含まれているので、$x$ でくくり出すことができます。

$x(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$

次に、$x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解します。

$x^2 = t$ と置換すると、$t^2 - 3t - 4$ となり、これは $(t-4)(t+1)$ と因数分解できます。

よって、 $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$ となります。

さらに、$x^2 - 4$ は $(x-2)(x+2)$ と因数分解できます。

したがって、$x(x-2)(x+2)(x^2 + 1) = 0$ となります。

$x=0$, $x-2=0$, $x+2=0$, $x^2+1=0$ のそれぞれについて解を求めます。

$x=0$

$x=2$

$x=-2$

$x^2 = -1$ より、$x = \pm i$ (ここで、$i$ は虚数単位)

3. 最終的な答え

したがって、解は $x = 0, 2, -2, i, -i$ となります。