与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) 行列 $A$ の行列式を求める。 (2) 行列 $A$ の逆行列を求める。 (3) 行列 $B$ の転置行列 ${}^tB$ を求める。 (4) ${}^tBB$ のトレースを求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) 行列 $A$ の行列式を求める。

(2) 行列 $A$ の逆行列を求める。

(3) 行列 $B$ の転置行列 ${}^tB$ を求める。

(4) ${}^tBB$ のトレースを求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$

(2) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) 行列 $B$ の転置行列 ${}^tB$ は、

${}^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}$

(4) ${}^tBB$ を計算する。

${}^tBB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\cdot3 + (-8)\cdot(-8) + 6\cdot6 & 3\cdot7 + (-8)\cdot1 + 6\cdot(-2) & 3\cdot5 + (-8)\cdot4 + 6\cdot9 \\ 7\cdot3 + 1\cdot(-8) + (-2)\cdot6 & 7\cdot7 + 1\cdot1 + (-2)\cdot(-2) & 7\cdot5 + 1\cdot4 + (-2)\cdot9 \\ 5\cdot3 + 4\cdot(-8) + 9\cdot6 & 5\cdot7 + 4\cdot1 + 9\cdot(-2) & 5\cdot5 + 4\cdot4 + 9\cdot9 \end{bmatrix}$

${}^tBB = \begin{bmatrix} 9 + 64 + 36 & 21 - 8 - 12 & 15 - 32 + 54 \\ 21 - 8 - 12 & 49 + 1 + 4 & 35 + 4 - 18 \\ 15 - 32 + 54 & 35 + 4 - 18 & 25 + 16 + 81 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 109 & 1 & 37 \\ 1 & 54 & 21 \\ 37 & 21 & 122 \end{bmatrix}$

${}^tBB$ のトレースは、対角成分の和なので、

$\text{Tr}({}^tBB) = 109 + 54 + 122 = 285$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = -1$

(2) $A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) ${}^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}$

(4) $\text{Tr}({}^tBB) = 285$