はい、数学の問題ですね。解いていきましょう。

はい、数学の問題ですね。解いていきましょう。

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1. 問題の内容**

この問題は、以下の2つのパートに分かれています。

* **パート1：** 実数 $x$ に関する2つの不等式

* $(x-a+2)(x-a) > 0$ ... (1)

* $|3x+1| < 5$ ... (2)

について、(1) $a=2$ のときの(1)の解、(2) 不等式(2)の解、(3) (1)と(2)を同時に満たす整数 $x$ が1個となるような $a$ の範囲を求めます。

* **パート2：** $xy$ 平面上の2つの円

* $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$

* $C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$

について、(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径、(2) 円 $C_2$ と $x$ 軸の正の部分との交点 $P$ を通る傾き $m$ の直線 $l$ と円 $C_1$ の中心との距離 $d$ を $m$ で表し、$l$ と $C_1$ が異なる2点で交わる $m$ の範囲、(3) $C_1$ と $C_2$ が直線 $l$ から切り取る線分の長さが等しくなる $m$ の値を求めます。

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2. 解き方の手順**

**パート1**

**(1) $a=2$ のときの(1)の解**

$a=2$ を不等式(1)に代入すると、

$(x-2+2)(x-2) > 0$

$x(x-2) > 0$

この不等式を解くと、$x < 0$ または $x > 2$ となります。

**(2) 不等式(2)の解**

不等式 $|3x+1| < 5$ を解きます。

$-5 < 3x+1 < 5$

$-6 < 3x < 4$

$-2 < x < \frac{4}{3}$

**(3) (1)と(2)を同時に満たす整数 $x$ が1個となるような $a$ の範囲**

(1)より、$x < a-2$ または $x > a$

(2)より、$-2 < x < \frac{4}{3}$

これらを同時に満たす整数 $x$ が1個となる条件を考えます。

$-2 < x < \frac{4}{3}$ を満たす整数は、-1, 0, 1 です。

* $x < a-2$ または $x > a$ と $-2 < x < \frac{4}{3}$ を満たす整数が $x = -1$ のみの場合を考えると、$a-2 \le -1$ かつ $a \ge -1$ なので、$1 \le a \le -1$ となり矛盾。

* $x < a-2$ または $x > a$ と $-2 < x < \frac{4}{3}$ を満たす整数が $x = 0$ のみの場合を考えると、$a-2 \le 0$ かつ $a \ge 0$ なので、$2 \le a \le 0$ となり矛盾。

* $x < a-2$ または $x > a$ と $-2 < x < \frac{4}{3}$ を満たす整数が $x = 1$ のみの場合を考えると、$a-2 \le 1$ かつ $a \ge 1$ なので、$3 \le a \le 1$ となり矛盾。

$x$ が -1 のとき、$x < a - 2$ より、$a - 2 > -1$ で $a > 1$.

$x < a - 2$ より、$a - 2 > -1$ なので、$a > 1$.

$x > a$ より、$a < -1$.

$a < x < a-2$ には、 $-2 < x < 4/3$ の範囲の整数が一つしか含まれない。

$a-2 < -1 < a < 0 < 1 < 4/3$より、$a-2 \le -2$ つまり $a \le 0$　そして、 $a \ge -1$

よって $-1 \le a \le 0$.

**パート2**

**(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径**

円 $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ を変形します。

$(x^2 - 8x) + (y^2 - 6y) + 16 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) + 16 - 16 - 9 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9$

したがって、円 $C_1$ の中心の座標は $(4, 3)$、半径は $3$ です。

**(2) $d$ を $m$ で表し、$l$ と $C_1$ が異なる2点で交わる $m$ の範囲**

円 $C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x$ 軸の正の部分との交点 $P$ は、$(2, 0)$ です。

点 $P(2, 0)$ を通る傾き $m$ の直線 $l$ の方程式は、$y = m(x - 2)$、つまり $mx - y - 2m = 0$ です。

円 $C_1$ の中心 $(4, 3)$ と直線 $l$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m(4) - 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$l$ と $C_1$ が異なる2点で交わる条件は、$d < 3$ なので、

$\frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 3$

$|2m - 3| < 3\sqrt{m^2 + 1}$

$(2m - 3)^2 < 9(m^2 + 1)$

$4m^2 - 12m + 9 < 9m^2 + 9$

$0 < 5m^2 + 12m$

$0 < m(5m + 12)$

したがって、$m < -\frac{12}{5}$ または $m > 0$ です。

**(3) $C_1$ と $C_2$ が直線 $l$ から切り取る線分の長さが等しくなる $m$ の値**

円 $C_1$ が直線 $l$ から切り取る線分の長さを $L_1$、円 $C_2$ が直線 $l$ から切り取る線分の長さを $L_2$ とします。$L_1 = L_2$ となるためには、$C_1$ と $C_2$ の中心から直線までの距離が等しい必要があります。

円 $C_2$ の中心 $(0, 0)$ と直線 $l: mx - y - 2m = 0$ の距離は、

$d_2 = \frac{|m(0) - 0 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d = d_2$ より、

$\frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$|2m - 3| = 2|m|$

(i) $2m - 3 = 2m$ のとき、$-3 = 0$ となり不適。

(ii) $2m - 3 = -2m$ のとき、$4m = 3$ より $m = \frac{3}{4}$

(iii) $-(2m - 3) = 2m$ のとき、$3 = 4m$ より $m = \frac{3}{4}$.

(iv) $-(2m - 3) = -2m$ のとき、$3 = 0$ となり不適。

$m = \frac{3}{4}$ は、$m < -\frac{12}{5}$ または $m > 0$ を満たします。

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3. 最終的な答え**

**パート1**

(1) $a=2$のとき、(1)の解: $x < 0$ または $x > 2$

(2) (2)の解: $-2 < x < \frac{4}{3}$

(3) (1)と(2)を同時に満たす整数$x$が1個となるような$a$の値の範囲： $-1 \le a \le 0$

**パート2**

(1) $C_1$ の中心の座標と半径: 中心 $(4, 3)$、半径 $3$

(2) $d = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$, $m < -\frac{12}{5}$ または $m > 0$

(3) $C_1$ と $C_2$ が直線 $l$ から切り取る線分の長さが等しくなる $m$ の値: $m = \frac{3}{4}$