問題は、実数 $x$ についての2つの不等式と、xy平面上の2つの円に関する問題です。 不等式： (1) $(x - a + 2)(x - a) > 0$ (2) $|3x + 1| < 5$ ただし、$a$ は実数の定数。 円： $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ $C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$ 問題は以下の3つに分かれています。 [1] (1) $a = 2$ のとき、不等式(1)を解け。 (2) 不等式(2)を解け。 (3) 不等式(1)かつ(2)を満たす整数 $x$ の個数が1個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。 [2] (1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求めよ。 (2) 円 $C_2$ と x 軸の正の部分との交点を P とし、P を通る傾き $m$ (mは実数)の直線を $l$ とする。円 $C_1$ の中心と直線 $l$ の距離を $d$ とするとき、$d$ を $m$ を用いて表せ。また、$l$ と $C_1$ が異なる2点で交わるような $m$ の値の範囲を求めよ。 (3) $m$ の値が (2) で求めた範囲にあるとき、円 $C_1$ が (2) の直線 $l$ から切り取る線分の長さと、円 $C_2$ が (2) の直線 $l$ から切り取る線分の長さが等しくなるような $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ についての2つの不等式と、xy平面上の2つの円に関する問題です。

不等式：

(1) $(x - a + 2)(x - a) > 0$

(2) $|3x + 1| < 5$

ただし、$a$ は実数の定数。

円：

$C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$

$C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$

問題は以下の3つに分かれています。

[1]

(1) $a = 2$ のとき、不等式(1)を解け。

(2) 不等式(2)を解け。

(3) 不等式(1)かつ(2)を満たす整数 $x$ の個数が1個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

[2]

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求めよ。

(2) 円 $C_2$ と x 軸の正の部分との交点を P とし、P を通る傾き $m$ (mは実数)の直線を $l$ とする。円 $C_1$ の中心と直線 $l$ の距離を $d$ とするとき、$d$ を $m$ を用いて表せ。また、$l$ と $C_1$ が異なる2点で交わるような $m$ の値の範囲を求めよ。

(3) $m$ の値が (2) で求めた範囲にあるとき、円 $C_1$ が (2) の直線 $l$ から切り取る線分の長さと、円 $C_2$ が (2) の直線 $l$ から切り取る線分の長さが等しくなるような $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

[1]

(1) $a = 2$ のとき、不等式(1)は $(x - 2 + 2)(x - 2) > 0$、つまり $x(x - 2) > 0$ となります。

これは、$x < 0$ または $x > 2$ を満たす $x$ の範囲です。

(2) 不等式(2)は $|3x + 1| < 5$ なので、$-5 < 3x + 1 < 5$ となります。

各辺から1を引くと $-6 < 3x < 4$

各辺を3で割ると $-2 < x < \frac{4}{3}$ となります。

(3) 不等式(1)と(2)を満たす $x$ の範囲を求めます。

(1)の解は $x < a-2$ または $x > a$

(2)の解は $-2 < x < \frac{4}{3}$

(1)かつ(2)を満たす整数 $x$ が1個となるような $a$ の範囲を求めます。

(2)の範囲に含まれる整数は -1, 0, 1 です。

(1)の解に含まれる整数が1個になる条件を考えます。

場合1：整数が -1 のみの場合

$x < a - 2$ または $x > a$ で -1 のみが含まれるためには、

$a < -1 \le a - 2$となる必要がある。

$a < -1$ かつ $1 \le a$ となり矛盾します。

$a < -1 < a+2$ であり $-2 > a$ となる。

$a-2<-2$であり，$a<0$である。

$x < a-2$ と $x > a$ のどちらかの範囲にのみ -1 が含まれる必要がある。

場合2： 0 のみの場合

$x < a-2$ または $x > a$ で 0 のみが含まれるためには、

$-2 < a < 0$

場合3：1 のみの場合

$x < a-2$ または $x > a$ で 1 のみが含まれるためには、

$0 < a < 1$

[2]

(1) 円 $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ を平方完成すると、

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9$ となります。

したがって、中心は $(4, 3)$、半径は 3 です。

(2) 円 $C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$ と x 軸の交点は $y = 0$ を代入して $x^2 = 4$、つまり $x = \pm 2$ となります。x 軸の正の部分との交点 P は $(2, 0)$ です。

P(2, 0) を通る傾き m の直線 l は $y = m(x - 2)$ と表されます。つまり、$mx - y - 2m = 0$ です。

C1の中心(4, 3)と直線 l の距離 d は

$d = \frac{|4m - 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$l$ と $C_1$ が異なる2点で交わる条件は、$d < 3$ です。

$\frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 3$

$(2m - 3)^2 < 9(m^2 + 1)$

$4m^2 - 12m + 9 < 9m^2 + 9$

$0 < 5m^2 + 12m$

$0 < m(5m + 12)$

$m < -\frac{12}{5}$ または $m > 0$

(3)

3. 最終的な答え

[1]

(1) $x < 0$ または $x > 2$

(2) $-2 < x < \frac{4}{3}$

[2]

(1) 中心: (4, 3), 半径: 3

(2) $d = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$, $m < -\frac{12}{5}$ または $m > 0$