与えられた分数式が恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。 問題は3つあります。 (1) $\frac{2}{x(x+2)} = \frac{a}{x} - \frac{b}{x+2}$ (3) $\frac{x-3}{x^2 - 3x + 2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$ (5) $\frac{3x - 4}{x^3 + 2x} = \frac{a}{x} + \frac{bx + c}{x^2 + 2}$

はい、承知しました。画像に示された数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた分数式が恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。 問題は3つあります。

(1) $\frac{2}{x(x+2)} = \frac{a}{x} - \frac{b}{x+2}$

(3) $\frac{x-3}{x^2 - 3x + 2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

(5) $\frac{3x - 4}{x^3 + 2x} = \frac{a}{x} + \frac{bx + c}{x^2 + 2}$

2. 解き方の手順

(1)

右辺を通分します。

$\frac{a}{x} - \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) - bx}{x(x+2)} = \frac{(a-b)x + 2a}{x(x+2)}$

この式が左辺と等しくなるためには、分子が等しくなければなりません。

$(a-b)x + 2a = 2$

$x$ の係数と定数項を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$a - b = 0$

$2a = 2$

この連立方程式を解くと、$a = 1$ かつ $b = 1$ となります。

(3)

右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{(a+b)x - (2a+b)}{x^2 - 3x + 2}$

この式が左辺と等しくなるためには、分子が等しくなければなりません。

$(a+b)x - (2a+b) = x - 3$

$x$ の係数と定数項を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$a + b = 1$

$2a + b = 3$

この連立方程式を解くと、$a = 2$ かつ $b = -1$ となります。

(5)

右辺を通分します。

$\frac{a}{x} + \frac{bx + c}{x^2 + 2} = \frac{a(x^2 + 2) + (bx + c)x}{x(x^2 + 2)} = \frac{(a+b)x^2 + cx + 2a}{x^3 + 2x}$

この式が左辺と等しくなるためには、分子が等しくなければなりません。

$(a+b)x^2 + cx + 2a = 3x - 4$

$x^2$ の係数、$x$ の係数、定数項を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$a + b = 0$

$c = 3$

$2a = -4$

この連立方程式を解くと、$a = -2$, $b = 2$, $c = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 1$

(3) $a = 2, b = -1$

(5) $a = -2, b = 2, c = 3$