与えられた4つの式の計算問題です。 (1) $\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x-1}$ (2) $\frac{2x}{x+3} + \frac{x+9}{x+3}$ (3) $\frac{3x+1}{2x-1} - \frac{2x-3}{2x-1}$ (4) $\frac{2x^2}{x-1} - \frac{x+1}{x-1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の計算問題です。

(1) $\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x-1}$

(2) $\frac{2x}{x+3} + \frac{x+9}{x+3}$

(3) $\frac{3x+1}{2x-1} - \frac{2x-3}{2x-1}$

(4) $\frac{2x^2}{x-1} - \frac{x+1}{x-1}$

2. 解き方の手順

分母が同じ分数の足し算または引き算は、分子を足し算または引き算し、分母をそのままにする。

(1) 分母が $x-1$ で共通なので、分子を足し合わせます。

$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x-1} = \frac{x+2}{x-1}$

(2) 分母が $x+3$ で共通なので、分子を足し合わせます。

$\frac{2x}{x+3} + \frac{x+9}{x+3} = \frac{2x + x + 9}{x+3} = \frac{3x+9}{x+3}$

さらに、$3x+9 = 3(x+3)$と変形できるので、

$\frac{3(x+3)}{x+3} = 3$

(3) 分母が $2x-1$ で共通なので、分子を引き算します。

$\frac{3x+1}{2x-1} - \frac{2x-3}{2x-1} = \frac{(3x+1) - (2x-3)}{2x-1} = \frac{3x+1-2x+3}{2x-1} = \frac{x+4}{2x-1}$

(4) 分母が $x-1$ で共通なので、分子を引き算します。

$\frac{2x^2}{x-1} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{2x^2 - (x+1)}{x-1} = \frac{2x^2 - x - 1}{x-1}$

分子を因数分解すると、$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$

したがって、$\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} = 2x+1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x+2}{x-1}$

(2) 3

(3) $\frac{x+4}{2x-1}$

(4) $2x+1$