ある整式を $(x+2)(x-1)$ で割った時の余りが $3x+1$ であるという条件の下で、以下の2つの問いに答えます。 (1) その整式を $(x+2)(x-1)$ で割った時の商を $Q(x)$ とおいたとき、その整式を $Q(x)$ を用いて表します。 (2) その整式を $x-1$ で割った時の余りを求めます。

1. 問題の内容

ある整式を $(x+2)(x-1)$ で割った時の余りが $3x+1$ であるという条件の下で、以下の2つの問いに答えます。

(1) その整式を $(x+2)(x-1)$ で割った時の商を $Q(x)$ とおいたとき、その整式を $Q(x)$ を用いて表します。

(2) その整式を $x-1$ で割った時の余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 整式を $P(x)$ とします。問題文より、 $P(x)$ を $(x+2)(x-1)$ で割ると、商が $Q(x)$ で余りが $3x+1$ であるので、

$P(x) = (x+2)(x-1)Q(x) + 3x + 1$

と表すことができます。

(2) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求めるためには、剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、$P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$ に等しいというものです。

したがって、$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは $P(1)$ に等しくなります。

(1)で求めた $P(x)$ の式に $x=1$ を代入して $P(1)$ を計算します。

$P(1) = (1+2)(1-1)Q(1) + 3(1) + 1 = (3)(0)Q(1) + 3 + 1 = 0 + 4 = 4$

よって、$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは $4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = (x+2)(x-1)Q(x) + 3x + 1$

(2) 4