四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=4, AB=BC=CA=2$\sqrt{6}$である。辺ABの中点をM、頂点Oから直線CMに引いた垂線をOHとする。$\angle$OMC = $\theta$とするとき、 (1) $\cos \theta$ と OHの値を求める問題。 (2) 四面体OAMHの体積を求める問題。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=4, AB=BC=CA=2$\sqrt{6}$である。辺ABの中点をM、頂点Oから直線CMに引いた垂線をOHとする。$\angle$OMC = $\theta$とするとき、

(1) $\cos \theta$ と OHの値を求める問題。

(2) 四面体OAMHの体積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle$OABについて考える。OA = OB = 4, AB = 2$\sqrt{6}$なので、$\triangle$OABは二等辺三角形である。MはABの中点なので、AM = MB = $\sqrt{6}$。

$\triangle$OAMにおいて、余弦定理より

$OM^2 = OA^2 + AM^2 - 2 \cdot OA \cdot AM \cdot \cos(\angle OAM)$

$\angle OAM$は$\triangle$ABCが正三角形であることから$\angle CAB$の半分ではないので、$\cos(\angle OAM)$は求められない。

しかし、$\triangle$OAMに着目して余弦定理を使う必要はない。$\triangle OMB$も同様。

$\triangle$OABは二等辺三角形なので、OMはABに垂直。よって、$\triangle$OAMは直角三角形なので、

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 - 6} = \sqrt{10}$。

次に、$\triangle$ABCについて考える。AB = BC = CA = 2$\sqrt{6}$なので、$\triangle$ABCは正三角形である。

MはABの中点なので、CMはABに垂直。よって、$\triangle$AMCは直角三角形である。

$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{24 - 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。

$\triangle$OMCにおいて、余弦定理より

$OC^2 = OM^2 + CM^2 - 2 \cdot OM \cdot CM \cdot \cos \theta$

$4^2 = (\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos \theta$

$16 = 10 + 18 - 6\sqrt{20} \cdot \cos \theta$

$16 = 28 - 12\sqrt{5} \cdot \cos \theta$

$-12 = -12\sqrt{5} \cdot \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

次に、OHを求める。$\triangle$OMCの面積を考える。

$\triangle$OMC = $\frac{1}{2} \cdot OM \cdot CM \cdot \sin \theta$

$\triangle$OMC = $\frac{1}{2} \cdot CM \cdot OH$

よって、$OM \cdot \sin \theta = OH$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$OH = OM \cdot \sin \theta = \sqrt{10} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$

(2)

四面体OAMHの体積Vは、$\triangle$OAMを底面としたときの高さがH。

$\triangle OAM = \frac{1}{2}AM \cdot OM = \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} = \frac{\sqrt{60}}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}$

OHはCMに垂直なので、$\triangle$OMCに垂直な平面上にHがある。したがって、四面体OAMHの高さは、Mから平面OAHまでの距離となる。

四面体OABCについて、底面を$\triangle$ABCとしたときの高さをhとする。

$\triangle$ABC = $\frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24 = 6\sqrt{3}$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{3} \cdot \triangle$ABC $\cdot h$

別解

AM = $\sqrt{6}$ なので、OからABに下ろした垂線の足はM。

Oから平面ABCに下ろした垂線の足をPとすると、PA = PB = PCとなる。

OA = OB = OC = 4 で、A, B, Cは同一円周上にある。この円の中心がP。AP = BP = CP = R とすると、$R = \frac{abc}{4S} = \frac{(2\sqrt{6})^3}{4 \cdot 6\sqrt{3}} = \frac{8 \cdot 6 \sqrt{6}}{24\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{2} \cdot 3}{24\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}\sqrt{3}= 2\sqrt{6}$

$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 - 24} = \sqrt{-8}$. これはありえない。

1. 問題の内容

(1) 四面体OABCにおいて、$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{5}}$であり、$OH = 2\sqrt{2}$である。

(2) 四面体OAMHの体積は$\frac{2\sqrt{15}}{3}$である。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$OH = 2\sqrt{2}$

(2)

$\triangle OAM = \frac{1}{2}AM \cdot OM = \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{15}$

$\triangle OAM$の面積は$\sqrt{15}$

CM $\perp$ AB

OH $\perp$ CM

AM $\perp$ OMなので、四面体OAMHの体積は

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}AM \cdot OH \cdot sin(AM,OH)) = \frac{1}{3}AM * h$

OH $\perp$ CM なので、HからAMに下ろした垂線の足をKとすると、四面体の高さはAMになる。

よって四面体OAMHの体積は$\frac{1}{3} \times \sqrt{15} \times h$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ であり、$OH = 2\sqrt{2}$である。

ア: 1, イ: 5, ウ: 2, エ: 2

(2) 四面体OAMHの体積は$\frac{2\sqrt{15}}{3}$である。

オ: 2, カ: 15, キ: 3