水槽Aと水槽Bがあり、水槽Aには最初にある高さまで水が入っている。水槽Aに水を入れ始めると同時に、水槽Bからは排水管を使って水を排出する。水槽Aと水槽Bの底から水面までの高さが等しくなる時間が、水槽Aに水を入れ始めてから11分後から16分後の間にある。この時間が何分何秒後かを求める。

1. 問題の内容

水槽Aと水槽Bがあり、水槽Aには最初にある高さまで水が入っている。水槽Aに水を入れ始めると同時に、水槽Bからは排水管を使って水を排出する。水槽Aと水槽Bの底から水面までの高さが等しくなる時間が、水槽Aに水を入れ始めてから11分後から16分後の間にある。この時間が何分何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

まず、水槽Bの水面の高さの時間変化を直線の方程式で表す。水槽Bの水面の高さは毎分 $\frac{1}{2}$ cmずつ低くなるので、傾きは $-\frac{1}{2}$ である。また、水槽Aに水を入れ始める時刻を0分とすると、水槽Bの水面の高さは、水槽Aに水を入れ始めてから11分後に20cm、16分後に30cmとなる。水槽Bの水面の高さの時間変化を表す直線の方程式を $y = ax + b$ とすると、

$20 = 11a + b$

$30 = 16a + b$

この連立方程式を解くと、$a = 2$、$b = -2$ となる。したがって、水槽Bの水面の高さの時間変化は $y = 2x - 2$ と表される。

次に、水槽Aの水面の高さの時間変化を直線の方程式で表す。水槽Aには最初4cmの高さまで水が入っているので、$x = 0$のとき、$y = 30$ となる。（OCRの内容から読み取れる）また、傾きは $\frac{-1}{2}$となる。

水槽Aの水面の高さの時間変化を表す直線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x + 30$ と表される。

水槽Aと水槽Bの底から水面までの高さが等しくなる時間を求める。つまり、

$-\frac{1}{2}x + 30 = 2x - 2$

を解く。両辺に2をかけると

$-x + 60 = 4x - 4$

$5x = 64$

$x = \frac{64}{5} = 12.8$

したがって、12.8分後に水槽Aと水槽Bの底から水面までの高さが等しくなる。

0.8分は $0.8 \times 60 = 48$秒であるから、12分48秒後となる。

3. 最終的な答え

12分48秒後