(1) あるタワーが建っている地点Kと同じ標高の地点Aからタワーの先端の仰角を測ると$30^\circ$であった。また、地点Aから$AB = 114 \ m$となるところに地点Bがあり、$\angle KAB = 75^\circ$および$\angle KBA = 60^\circ$であった。 問1: AKの距離を求めよ。 問2: タワーの高さを求めよ。 (2) 体積が1の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) あるタワーが建っている地点Kと同じ標高の地点Aからタワーの先端の仰角を測ると$30^\circ$であった。また、地点Aから$AB = 114 \ m$となるところに地点Bがあり、$\angle KAB = 75^\circ$および$\angle KBA = 60^\circ$であった。

問1: AKの距離を求めよ。

問2: タワーの高さを求めよ。

(2) 体積が1の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

問1:

まず、$\triangle KAB$において、$\angle AKB$を求める。

$\angle AKB = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{AK}{\sin \angle KBA} = \frac{AB}{\sin \angle AKB}$

$AK = \frac{AB \cdot \sin \angle KBA}{\sin \angle AKB}$

$AK = \frac{114 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

$AK = \frac{114 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$AK = \frac{114 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$AK = \frac{114 \sqrt{6}}{2}$

$AK = 57 \sqrt{6}$

問2:

タワーの先端をTとすると、$\angle TAK = 30^\circ$なので、タワーの高さKTは、

$KT = AK \cdot \tan 30^\circ$

$KT = 57 \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

$KT = 57 \sqrt{2}$

(2)

体積が1の正四面体の一辺の長さを$a$とする。

正四面体の体積の公式は$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$なので、$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = 1$より、$a^3 = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$となる。

正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体は、元の正四面体の体積の$1/5$になる。

正八面体の体積$=\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

問1: $AK = 57\sqrt{6} \ m$

問2: $KT = 57\sqrt{2} \ m$

(2) $\frac{1}{5}$