三角形ABCについて、以下の条件を満たす三角形がどのような三角形か答える問題です。 (1) $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$ (2) $\frac{b}{\cos A} = \frac{a}{\cos B}$

1. 問題の内容

三角形ABCについて、以下の条件を満たす三角形がどのような三角形か答える問題です。

(1) $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$

(2) $\frac{b}{\cos A} = \frac{a}{\cos B}$

2. 解き方の手順

(1)

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$ （Rは外接円の半径）なので、$a=2R\sin A$、$b=2R\sin B$と表せます。

与えられた条件式 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$ に代入すると、

$\frac{2R\sin A}{\cos A} = \frac{2R\sin B}{\cos B}$

$2R$を約分して、

$\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin B}{\cos B}$

$\tan A = \tan B$

$0 < A < \pi$, $0 < B < \pi$ より、$A = B$

したがって、$\triangle ABC$は$A=B$の二等辺三角形である。

(2)

与えられた条件式 $\frac{b}{\cos A} = \frac{a}{\cos B}$ を変形すると、

$b\cos B = a\cos A$

余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$、$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$なので、代入すると、

$b\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = a\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

両辺に$2abc$を掛けて、

$b^2(a^2+c^2-b^2) = a^2(b^2+c^2-a^2)$

$a^2b^2+b^2c^2-b^4 = a^2b^2+a^2c^2-a^4$

$b^2c^2-b^4 = a^2c^2-a^4$

$a^4-b^4-a^2c^2+b^2c^2 = 0$

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) - c^2(a^2-b^2) = 0$

$(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) = 0$

$a^2-b^2 = 0$ または $a^2+b^2-c^2 = 0$

$a^2-b^2=0$のとき、$a^2=b^2$より、$a=b$

$a^2+b^2-c^2=0$のとき、$a^2+b^2=c^2$

したがって、$\triangle ABC$は$a=b$の二等辺三角形、または$C = 90^\circ$の直角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $A=B$の二等辺三角形

(2) $a=b$の二等辺三角形、または$C = 90^\circ$の直角三角形