複素数 $z$ に関する方程式 $|z-2| = 3|z+2|$ を満たす点 $z$ 全体はどのような図形になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $|z-2| = 3|z+2|$ を満たす点 $z$ 全体はどのような図形になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $|z-2| = 3|z+2|$ の両辺を2乗します。

$|z-2|^2 = 9|z+2|^2$

$(z-2)(\overline{z}-2) = 9(z+2)(\overline{z}+2)$

$z\overline{z} - 2z - 2\overline{z} + 4 = 9(z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4)$

$z\overline{z} - 2z - 2\overline{z} + 4 = 9z\overline{z} + 18z + 18\overline{z} + 36$

$8z\overline{z} + 20z + 20\overline{z} + 32 = 0$

両辺を8で割ると、

$z\overline{z} + \frac{5}{2}z + \frac{5}{2}\overline{z} + 4 = 0$

$z\overline{z} + \frac{5}{2}z + \frac{5}{2}\overline{z} + (\frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 - 4$

$(z + \frac{5}{2})(\overline{z} + \frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{16}{4}$

$|z + \frac{5}{2}|^2 = \frac{9}{4}$

$|z + \frac{5}{2}| = \frac{3}{2}$

したがって、点 $z$ 全体は、中心が $-\frac{5}{2}$、半径が $\frac{3}{2}$ の円です。

3. 最終的な答え

点 $\frac{-5}{2}$ を中心とする半径 $\frac{3}{2}$ の円。

解答欄を埋める形式で答えます。

点$\frac{-5}{2}$を中心とする半径$\frac{3}{2}$の円。

答えは以下の通りです。

8: -5

9: /

10: 2

11: 3

12: / 2